행렬과 선형변환
회전과 확대는 행렬로, 위치 이동은 벡터로 기록해요.
얼굴 모양도 벡터로 계산할 수 있을까요?
얼굴에서 같은 부위를 가리키는 점들을 차례로 적으면 하나의 긴 벡터가 돼요. 여기서는 카메라나 실제 얼굴 대신 합성 자료를 사용해 평균·차이·표정 이동·정렬이 언제 의미 있는 계산이 되는지 살펴봐요.
1중립 얼굴에 표정 벡터 더하기
얼굴의 같은 부위를 표시한 점을 랜드마크라고 해요. 랜드마크 26개의 좌표를 모으면 52차원 얼굴 벡터가 돼요.
좌표는 (x₁,y₁,x₂,y₂,…) 순서로 놓아요.
중립 얼굴 μ에 미소 변화 벡터 d를 더하면 x(α)=μ+αd예요.
α의 부호가 바뀌면 얼굴점은 어떻게 움직일까요? 슬라이더로 확인해 보세요.
점의 순서가 중요한 까닭
모든 얼굴에서 같은 번호가 같은 부위를 가리켜야 벡터를 더할 수 있음 점의 순서가 섞이면 서로 다른 부위의 좌표를 더하게 되어 계산의 의미가 사라짐
2평균을 뺀 뒤 남는 개별 차이
정렬된 얼굴 네 개의 좌표별 평균을 μ, 평균에서 벗어난 차이를 d=x−μ로 두어요.
β=1이면 μ+d=x가 돼요.
β를 바꾸면 평균에서 벗어난 쪽과 정도가 어떻게 달라질까요? 슬라이더로 확인해 보세요.
평균 전에 맞출 조건
같은 부위끼리 좌표를 더해야 평균에 의미가 생김 위치·크기·회전이 다르면 표정과 촬영 자세가 차이 벡터에 함께 섞임 정렬로 자세 차이를 줄인 뒤 얼굴 모양의 차이를 비교
3아핀 정렬로 자세 차이 걷어 내기
비교하기 전에 위치·크기·회전을 맞춰야 해요.
회색 기준점과 파란 보정점이 겹치도록 조절해 보세요.
이때 쓰는 닮음변환은 p′=Ap+b 꼴인 아핀변환의 한 종류예요.
실제 랜드마크를 정렬하는 방법
두 눈 사이 거리로 크기를 맞추고 눈을 잇는 선으로 회전을 맞춤 점 검출 방식에 따라 수십 개에서 수백 개의 대응점을 사용 점의 수보다 중요한 조건: 같은 부위를 가리키는 점과 공통 좌표계
4연결 지도
좌표 맞추기 → 차이 재기 → 주요 변화 방향 찾기.
내적과 직교
내적으로 길이와 각도를 정하고, 두 얼굴 벡터를 뺀 차이벡터의 길이로 정렬된 얼굴 사이의 거리를 재요.
스펙트럼 분해
자료가 가장 크게 달라지는 몇 방향을 먼저 찾아요. 이를 주성분분석(PCA)이라고 하며, 얼굴 자료에 적용하면 고유얼굴(Eigenfaces)을 얻어요.
실제 얼굴 데이터를 쓸 때 확인할 점
이 페이지의 좌표는 모두 코드로 만든 합성 자료. 실제 얼굴 랜드마크는 생체정보가 될 수 있으므로 수집 목적·보관 기간·동의 범위를 먼저 정해야 함. 벡터 표현 가능성이 무제한 수집을 정당화하지는 않음.
탐구실 · 좌표 계산이 의미를 얻는 조건
한 실험을 골라 수치와 식을 기록하고, 계산의 의미가 사라지는 조건도 함께 적어 보세요.
표정 옮겨 보기
미소 벡터를 다른 윤곽에 옮기고 비율 보정이 필요한 랜드마크를 찾아보세요.
평균의 한계 찾기
위치·크기·회전을 바꾸어 정렬 전 평균이 흐려지는 반례를 만들어 보세요.
정렬 오차 분석
새 자세 세 개의 정렬 전후 오차를 비교하고 가장 민감한 변수를 찾아보세요.