고급대수 · 01차시 · 1/3

선형변환의 조건

학번이름
오늘 할 일 덧셈과 실수배의 보존을 확인해 변환이 선형인지 판정한다.

두 입력을 따로 계산한 결과와 합쳐서 계산한 결과를 비교한다. 수치 예로 규칙을 관찰한 뒤 문자로 모든 입력에서 성립함을 보인다.

먼저 확인 $u=(1,2),v=(3,-1)$일 때 $2u-v$를 구하시오.
풀이 읽기두 성분의 함수에서 선형성 증명

\(T(x,y)=(2x+y,y)\), \(u=(u_1,u_2),v=(v_1,v_2)\)로 둔다.

\[T(au+bv)=\binom{a(2u_1+u_2)+b(2v_1+v_2)}{au_2+bv_2}=aT(u)+bT(v)\]

평행이동 \(S(x,y)=(x+1,y)\)는 \(S(0,0)=(1,0)\)이므로 이 조건을 만족하지 않는다.

설명을 읽고 개념 정리

주의할 점 $T(0)=0$은 필요조건일 뿐, 이것만으로 선형이라고 결론 내릴 수 없다.
고급대수 · 01차시 · 2/3

선형변환의 조건

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빈칸을 채우며 한 문제 풀기

정의로 판정

$T(x,y)=(3x-y,\,2y)$가 선형인지 확인하자.

1단계$u=(u_1,u_2),v=(v_1,v_2)$이면 $T(u+v)=(3u_1+3v_1-u_2-v_2,2u_2+2v_2)$이다.
2단계항을 묶으면 $(3u_1-u_2,2u_2)+(3v_1-v_2,2v_2)=\underline{\hspace{2.0cm}}$이다.
3단계$T(cu)=(3cu_1-cu_2,2cu_2)=c(3u_1-u_2,2u_2)=\underline{\hspace{2.0cm}}$이다. 두 조건이 모든 입력에서 성립하므로 선형이다.

기초 계산과 개념 확인

  1. 1기초
    $T(x,y)=(4x+y,\,y-x)$일 때 $T(2,-1)$을 구하시오.
  2. 2기초
    $f(x)=5x$가 덧셈을 보존하는지 식으로 확인하시오.
  3. 3개념
    $g(x)=3x-2$가 선형이 아님을 $g(0)$을 이용해 설명하시오.
고급대수 · 01차시 · 3/3

선형변환의 조건

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직접 풀고 이유 설명하기

4·5번은 수업 중 연습, 6번은 선택 심화입니다. 식을 세운 이유와 검산을 함께 적습니다.

  1. 4적용
    $h(x)=x^2$에 대해 덧셈 보존이 실패하는 구체적인 $x,y$를 한 쌍 찾으시오.
  2. 5적용
    $T(x,y)=(2x-y,3x+4y)$가 덧셈을 보존하는지 $u=(u_1,u_2),v=(v_1,v_2)$로 확인하시오.
  3. 6선택 심화
    $T(x,y)=(ax+by,\,cx+dy)$가 모든 실수 $a,b,c,d$에 대해 선형인 이유를 설명하시오.
마무리 확인 선형성을 판정할 때 반드시 확인할 두 식을 쓰시오.
□ 계산을 설명할 수 있다□ 조건을 확인했다□ 질문을 적었다