고급대수 · 04차시 · 1/3

벡터공간의 공리

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오늘 할 일 영벡터의 포함과 연산의 닫힘을 확인해 부분공간인지 판정한다.

3차시에서 대상을 더하고 실수배했다. 이제 그 결과가 처음 정한 집합에 남는지 확인하여 부분공간을 판정한다.

먼저 확인 $y=2x$와 $y=2x+1$ 중 원점을 포함하는 것은 어느 쪽인가?
풀이 읽기공리에서 0배가 영벡터임을 유도

실수 0과 영벡터는 역할이 다르다. 분배법칙과 덧셈 역원을 사용하면 둘의 관계를 증명할 수 있다.

\[0v=(0+0)v=0v+0v\quad\Longrightarrow\quad 0_V=0v\]

부분공간에서는 같은 연산을 사용하므로 등식 공리들은 상속된다. 영벡터의 포함과 연산의 닫힘은 따로 확인해야 한다.

설명을 읽고 개념 정리

주의할 점 원점을 지나지 않는 직선은 영벡터를 포함하지 않으므로 더 계산할 필요 없이 부분공간이 아니다.
고급대수 · 04차시 · 2/3

벡터공간의 공리

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빈칸을 채우며 한 문제 풀기

직선의 부분공간 판정

$W=\{(x,y):y=-3x\}$가 $\mathbb R^2$의 부분공간인지 판정하자.

1단계$(0,0)$은 식을 만족하므로 한다.
2단계$(x_1,-3x_1)+(x_2,-3x_2)=(x_1+x_2,-3(x_1+x_2))$이므로 .
3단계$c(x,-3x)=(cx,-3cx)$이므로 .

기초 계산과 개념 확인

  1. 1기초
    $W=\{(x,y):x+2y=0\}$가 부분공간인지 판정하시오.
  2. 2기초
    $S=\{(x,y):x+2y=5\}$가 부분공간이 아닌 가장 빠른 이유를 쓰시오.
  3. 3개념
    제1사분면과 좌표축의 점 전체가 스칼라배에 닫혀 있지 않음을 보이는 반례를 쓰시오.
고급대수 · 04차시 · 3/3

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직접 풀고 이유 설명하기

4·5번은 수업 중 연습, 6번은 선택 심화입니다. 식을 세운 이유와 검산을 함께 적습니다.

  1. 4적용
    2차 이하 다항식 중 $p(1)=0$인 다항식 전체가 부분공간인지 판정하시오.
  2. 5적용
    $S=\{(x,0):x\in\mathbb R\}\cup\{(0,y):y\in\mathbb R\}$가 덧셈에 닫혀 있는지 반례로 판정하시오.
  3. 6선택 심화
    두 부분공간 $U,W$에 대해 $U\cap W$는 항상 부분공간임을 세 조건으로 설명하시오.
마무리 확인 부분공간 판정의 세 확인 항목을 순서 없이 쓰시오.
□ 계산을 설명할 수 있다□ 조건을 확인했다□ 질문을 적었다