오늘 할 일 목표 벡터를 선형결합으로 나타내고 주어진 벡터들이 생성하는 공간을 구한다.
부분공간 판정에 사용한 닫힘 조건을 선형결합에 적용한다. 먼저 목표 벡터 하나를 만들고 가능한 목표 전체를 생성공간으로 묶는다.
먼저 확인 $u=(1,0),v=(1,1)$일 때 $u+2v$를 구하시오.
풀이 읽기생성공간이 덧셈과 실수배에 닫히는 이유
\(p=au+bv\), \(q=cu+dv\)가 같은 생성공간에 속한다고 하자.
\[\alpha p+\beta q=(\alpha a+\beta c)u+(\alpha b+\beta d)v\]
결과도 u,v의 선형결합이다. 계수를 모두 0으로 두면 영벡터도 포함하므로 생성공간은 부분공간이다.
설명을 읽고 개념 정리
- $\operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\}$는 모든 의 집합이다.
- 한 벡터의 생성공간은 원점을 지나는 또는 영벡터만 있는 집합이다.
- $\mathbb R^2$의 평행하지 않은 두 벡터는 전체를 생성한다.
- 우변이 모두 0인 일차방정식들의 공통 해집합은 항상 이다.
주의할 점 생성집합의 계수는 0이나 양수로만 제한하지 않고 모든 실수를 허용한다.