오늘 할 일 일차독립과 생성 조건을 확인해 기저를 고르고 차원을 구한다.
5차시에서는 벡터를 만들 수 있는지를 물었다. 이번에는 만드는 계수가 하나로 정해지는지도 확인한다.
먼저 확인 $(1,2)$와 $(2,4)$ 사이의 0이 아닌 계수 관계를 하나 쓰시오.
풀이 읽기독립성이 좌표를 하나로 만드는 증명
\(u=(1,0),v=(1,1)\)에서 \(au+bv=0\)을 풀어 본다.
u,v가 일차독립이고 같은 벡터에 두 표현 \(au+bv=cu+dv\)가 있다고 가정한다.
\[(a-c)u+(b-d)v=0\quad\Longrightarrow\quad a=c,\ b=d\]
생성 조건이 있어야 좌표를 구할 수 있고, 독립 조건이 있어야 그 좌표가 하나로 정해집니다. 둘을 만족하는 순서 있는 벡터 목록이 기저이다.
설명을 읽고 개념 정리
- $c_1v_1+\cdots+c_kv_k=0$의 해로 자명해만 존재하면 벡터들은 이다.
- 기저는 공간을 생성하면서 동시에 인 벡터들의 집합이다.
- 한 벡터공간의 모든 기저는 같은 개수의 벡터를 가지며 그 수가 이다.
- 벡터를 기저의 선형결합으로 나타낸 계수열을 그 벡터의 라 한다.
주의할 점 벡터 수가 공간의 차원과 같다는 사실만으로 기저가 되지는 않는다. 독립성 또는 생성성을 확인한다.