ADVANCED ALGEBRA · LESSON 06 · 1/2
선형독립·기저·차원
학번
이름
오늘의 목표
일차독립과 생성 조건을 함께 확인하여 기저와 차원을 결정한다.
핵심 개념 빈칸 노트
$c_1v_1+\cdots+c_kv_k=0$의 해로 자명해만 존재하면 벡터들은
이다.
기저는 공간을 생성하면서 동시에
인 벡터들의 집합이다.
한 벡터공간의 모든 기저는 같은 개수의 벡터를 가지며 그 수가
이다.
벡터를 기저의 선형결합으로 나타낸 계수열을 그 벡터의
라 한다.
따라 풀기
기저 판정
$v_1=(1,1)$, $v_2=(2,-1)$이 $\mathbb R^2$의 기저인지 확인하자.
1단계
$c_1v_1+c_2v_2=0$에서 $c_1+2c_2=0$, $c_1-c_2=0$이다.
2단계
유일한 해는 $c_1=c_2=\underline{\hspace{2.2cm}}$이므로 일차독립이다.
3단계
$\mathbb R^2$의 독립인 두 벡터이므로
이다.
실수 방지
벡터 수가 공간의 차원과 같다는 사실만으로 기저가 되지는 않는다. 독립성 또는 생성성을 확인한다.
ADVANCED ALGEBRA · LESSON 06 · 2/2
선형독립·기저·차원
학번
이름
연습 문제 · 쉬운 계산에서 심화까지
1
기초
$(1,2)$와 $(3,6)$이 일차독립인지 판정하시오.
2
기초
$\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$이 생성하는 공간과 그 차원을 쓰시오.
3
개념
$P_2$에서 $\{1,x,x^2\}$가 기저인 이유를 설명하시오.
4
적용
벡터 $(5,-1)$의 기저 $B=\{(1,1),(2,-1)\}$에 대한 좌표를 구하시오.
5
적용
$W=\{(x,y,z):x+y+z=0\}$의 기저 하나와 차원을 구하시오.
6
심화
$\mathbb R^4$에서 서로 다른 벡터 5개가 반드시 일차종속인 이유를 차원과 연결해 설명하시오.
나가기 전 한 문장
기저가 만족해야 하는 두 조건을 쓰시오.
□ 개념을 설명할 수 있다
□ 계산을 다시 확인했다
□ 질문이 있다