고급대수 · 07차시 · 1/3

기저와 좌표의 변환

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오늘 할 일 벡터와 그 좌표를 구별하고 기저벡터의 계수를 구해 좌표를 바꾼다.

기저가 주어지면 벡터를 만드는 계수가 좌표가 된다. 같은 벡터라도 기저가 달라지면 계수가 달라진다.

먼저 확인 $(3,2)=a(1,0)+b(1,1)$의 $a,b$를 구하시오.
풀이 읽기새 기저의 좌표를 구하는 두 방정식

순서 있는 기저 $B=(b_1,b_2)$에서 $v=ab_1+bb_2$의 계수 목록 $(a,b)$를 $B$좌표 $[v]_B$라 한다. 생성은 표현의 존재를, 일차독립은 유일성을 보장한다.

$B=((1,0),(1,1))$에서 $v=(3,2)$를 $a(1,0)+b(1,1)$로 표현한다.

\[a+b=3,\quad b=2\quad\Longrightarrow\quad [v]_B=(1,2)\]

$1(1,0)+2(1,1)=(3,2)$로 검산한다. 벡터는 같지만 표준기저의 좌표 $(3,2)$와 $B$좌표 $(1,2)$는 다르다.

설명을 읽고 개념 정리

주의할 점 계수의 순서는 기저벡터를 적은 순서와 맞춘다. 좌표 목록만 쓰지 말고 사용한 기저도 함께 밝힌다.
고급대수 · 07차시 · 2/3

기저와 좌표의 변환

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빈칸을 채우며 한 문제 풀기

새 기저의 좌표

$B=((1,2),(2,1))$에서 $v=(7,8)$의 좌표를 구하자.

1단계$a(1,2)+b(2,1)=(7,8)$을 세운다.
2단계$a+2b=7$, $2a+b=8$을 풀면 $a=\underline{\hspace{2.0cm}}$, $b=\underline{\hspace{2.0cm}}$이다.
3단계따라서 $[v]_B=\underline{\hspace{3.2cm}}$이다.

기초 계산과 개념 확인

  1. 1기초
    $B=((1,0),(1,3))$, $[v]_B=(2,-1)$일 때 표준좌표 $v$를 구하시오.
  2. 2기초
    $B=((2,0),(0,5))$에서 $v=(8,-10)$의 좌표를 구하시오.
  3. 3개념
    같은 벡터가 서로 다른 좌표를 가질 수 있는 이유를 한 문장으로 설명하시오.
고급대수 · 07차시 · 3/3

기저와 좌표의 변환

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직접 풀고 이유 설명하기

4·5번은 수업 중 연습, 6번은 선택 심화입니다. 식을 세운 이유와 검산을 함께 적습니다.

  1. 4적용
    $B=((1,0),(2,1))$이다. 임의의 벡터 $(x,y)$의 $B$좌표를 구하는 규칙을 두 방정식으로 유도하고 $(5,2)$에 적용하시오.
  2. 5적용
    $B=((1,1),(1,-1))$, $C=((2,0),(0,1))$이다. $[v]_B=(2,1)$일 때 벡터 $v$를 복원한 뒤 $[v]_C$를 구하시오. $(2,1)$을 곧바로 $C$좌표로 읽으면 어떤 벡터가 되는가?
  3. 6선택 심화
    $C_t=((1,0),(t,1-t))$는 어떤 $t$에서 기저인가? $t=1$일 때 $(3,2)$와 $(3,0)$의 표현이 각각 존재하는지, 유일한지 설명하시오.
마무리 확인 $B=(b_1,b_2)$에서 $[v]_B=(a,b)$라는 말의 뜻을 등식으로 쓰시오.
□ 계산을 설명할 수 있다□ 조건을 확인했다□ 질문을 적었다