오늘 할 일 내적으로 길이와 직교를 판단하고 정사영과 정규직교기저를 구한다.
좌표벡터만으로는 길이나 직교를 정의하지 못한다. 내적으로 길이를 정한 뒤 오차가 직교하는 정사영점을 찾는다.
먼저 확인 $(1,2)\cdot(2,-1)$을 구하시오.
풀이 읽기정사영 계수의 유도
\(v\ne0\)일 때 직선 위의 점을 tv로 쓰고 오차 \(u-tv\)가 v와 직교하게 한다.
\[(u-tv)\cdot v=0\quad\Longrightarrow\quad t=\frac{u\cdot v}{v\cdot v}\]
\(u=(3,1),v=(1,1)\)이면 \(t=2\), 정사영은 \((2,2)\), 오차는 \((1,-1)\)이다.
설명을 읽고 개념 정리
- $u\cdot v=0$이면 두 벡터는 한다.
- $u\ne0$일 때 $v$를 $u$ 위로 정사영하면 $\operatorname{proj}_u v=\underline{\hspace{3.2cm}}$이다.
- 정사영 오차 $v-\operatorname{proj}_u v$는 $u$와 한다.
- 일차독립인 벡터들에 그람–슈미트 과정을 적용하면 벡터들을 얻고, 길이를 1로 맞추면 정규직교기저가 된다.
주의할 점 정사영할 방향벡터 $u$는 0이 아니어야 하며, 공식의 분모는 $u\cdot u$이다.