고급대수 · 09차시 · 1/3

행렬방정식 Ax=b

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오늘 할 일 행렬방정식을 연립방정식, 열의 선형결합, 입력과 출력의 관계로 해석한다.

벡터의 선형결합을 행렬곱으로 짧게 쓴다. 행을 읽으면 방정식이고 열을 읽으면 출력벡터를 만드는 식이다.

먼저 확인 $2(1,3)+(2,-1)$을 계산하시오.
풀이 읽기목표 출력으로 가는 입력 찾기

\(2x+y=7\), \(x-y=2\)를 더하면 \(3x=9\)이다.

\[x=3,\ y=1,\qquad A\binom31=3\binom21+\binom1{-1}=\binom72\]

열공간은 가능한 출력 전체이다. 여기서는 해를 구한 뒤 원래 두 방정식에 대입해 검산한다.

설명을 읽고 개념 정리

주의할 점 열의 선형결합 계수는 해벡터 $x$의 성분이며, 행벡터와 혼동하지 않는다.
고급대수 · 09차시 · 2/3

행렬방정식 Ax=b

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빈칸을 채우며 한 문제 풀기

세 관점 연결

$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&-1\end{bmatrix}$, $b=(4,5)^\mathsf T$에서 $Ax=b$를 풀자.

1단계행 방정식은 $x_1+2x_2=4$, $3x_1-x_2=5$이다.
2단계풀면 $x_1=\underline{\hspace{2.0cm}}$, $x_2=\underline{\hspace{2.0cm}}$이다.
3단계열 관점에서는 $2(1,3)+1(2,-1)=\underline{\hspace{2.0cm}}$이다.

기초 계산과 개념 확인

  1. 1기초
    $A=\begin{bmatrix}2&0\\1&3\end{bmatrix}$, $x=(2,-1)^\mathsf T$일 때 $b=Ax$를 구하시오.
  2. 2기초
    $\begin{bmatrix}1&-1\\2&1\end{bmatrix}x=\begin{bmatrix}2\\7\end{bmatrix}$를 두 개의 행 방정식으로 쓰시오.
  3. 3개념
    $A$의 열이 $a_1,a_2,a_3$일 때 $Ax=b$를 열의 선형결합으로 쓰시오.
고급대수 · 09차시 · 3/3

행렬방정식 Ax=b

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직접 풀고 이유 설명하기

4·5번은 수업 중 연습, 6번은 선택 심화입니다. 식을 세운 이유와 검산을 함께 적습니다.

  1. 4적용
    $a_1=(1,2,0)$, $a_2=(0,1,1)$일 때 $b=(3,7,4)$가 두 열의 생성공간에 속하는지 판정하시오.
  2. 5적용
    $A=\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}$일 때 $b=(3,7)^\mathsf T$에 대한 $Ax=b$의 해가 없는 이유를 열 관점으로 설명하시오.
  3. 6선택 심화
    $Ax=b$가 모든 $b\in\mathbb R^m$에 대해 해를 가지려면 $A$의 열공간이 어떤 조건을 만족해야 하는지 쓰시오.
마무리 확인 $Ax=b$의 세 관점을 각각 한 구절로 쓰시오.
□ 계산을 설명할 수 있다□ 조건을 확인했다□ 질문을 적었다