오늘 할 일 핵과 상의 기저를 구하고 두 차원의 합을 정의역의 차원과 비교한다.
피벗과 자유변수를 각각 가능한 출력과 영벡터로 가는 입력에 연결한다. 두 차원의 합은 공역이 아니라 정의역의 차원이다.
먼저 확인 $x+2y=0$의 해를 매개변수로 나타내시오.
풀이 읽기핵과 상을 계산으로 연결
\(A=\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}\)가 정의하는 함수는 \(T(x,y)=(x+2y,2x+4y)\)이다.
영벡터로 가는 입력은 \(x+2y=0\)을 만족한다. \(y=t\)로 두어 전부 나타냅니다.
\[\ker A=\{t(-2,1):t\in\mathbb R\},\quad\operatorname{im}A=\{s(1,2):s\in\mathbb R\}\]
핵의 차원 1과 상의 차원 1의 합은 정의역의 차원 2이다. 같은 출력을 갖는 두 입력의 차이는 항상 핵에 속한다.
설명을 읽고 개념 정리
- $\ker T$는 $T(x)=\underline{\hspace{2.0cm}}$이 되는 모든 입력의 집합이다.
- $\operatorname{im}T$는 $T$로 얻을 수 있는 모든 의 집합이다.
- 행렬변환 $T(x)=Ax$에서 상은 $A$의 이다.
- 유한차원 선형변환 $T:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$에서 랭크-널리티 정리는 $\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{im}T)=\underline{\hspace{2.0cm}}$이다.
주의할 점 열공간의 기저는 원래 행렬의 피벗열을 고른다. 소거된 행렬의 열을 그대로 쓰지 않는다.