고급대수 · 14차시 · 1/4

행렬식과 수반행렬

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오늘 할 일 행렬식을 부호 있는 넓이·부피 배율로 설명하고 여인수와 수반행렬로 역행렬을 구한다.

행렬의 두 열이 만드는 평행사변형에서 넓이 배율을 읽는다. 부호를 포함한 행렬식으로 가역성을 판정하고 수반행렬 공식을 유도한다.

먼저 확인 $u=(2,0),v=(1,3)$이 만드는 평행사변형의 넓이를 구하시오.
풀이 읽기행렬식의 세 조건에서 공식 유도

각 열에 대한 선형성, 같은 두 열에서 값 0, \(D(e_1,e_2)=1\)을 사용한다.

\[D(ae_1+ce_2,be_1+de_2)=adD(e_1,e_2)+cbD(e_2,e_1)=ad-bc\]

두 열을 바꾸면 부호가 반대이다. 같은 방향 두 개의 항은 0이어서 두 항만 남는다. 이 정의는 더 높은 차원의 부피에도 이어진다.

설명을 읽고 개념 정리

주의할 점 행렬식의 부호는 위·아래를 뜻하지 않는다. 두 기저벡터를 놓은 순서가 유지되는지, 거울에 비친 것처럼 뒤집히는지를 나타낸다.
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행렬식과 수반행렬

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빈칸을 채우며 한 문제 풀기

넓이 배율과 뒤집힘

$A=\begin{bmatrix}3&1\\0&-2\end{bmatrix}$가 넓이를 몇 배로 바꾸며 도형을 뒤집는지 구하자.

1단계$\det A=3(-2)-0=\underline{\hspace{2.0cm}}$이다.
2단계넓이 배율은 $|\det A|=\underline{\hspace{2.0cm}}$이다.
3단계부호가 음수이므로 도형이 거울에 비친 것처럼 .

기초 계산과 개념 확인

  1. 1기초
    $A=\begin{bmatrix}4&1\\2&3\end{bmatrix}$의 행렬식을 구하시오.
  2. 2기초
    넓이가 7인 도형에 $\det A=-3$인 변환을 적용한 뒤의 넓이를 구하시오.
  3. 3개념
    $\det A=0$일 때 $A$가 가역일 수 없는 기하적 이유를 설명하시오.
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직접 풀고 이유 설명하기

4·5번은 수업 중 연습, 6번은 선택 심화입니다. 식을 세운 이유와 검산을 함께 적습니다.

  1. 4적용
    $u=(2,1)$, $v=(-1,4)$가 만드는 평행사변형과 삼각형의 넓이를 각각 구하시오.
  2. 5적용
    $A=\begin{bmatrix}2&1\\1&3\end{bmatrix}$의 행렬식과 수반행렬을 구한 뒤 역행렬을 구하시오.
  3. 6선택 심화
    $\det(AB)=\det A\det B$를 두 변환의 연속적인 넓이 배율 관점에서 설명하시오.
마무리 확인 행렬식의 크기, 부호, 0이 각각 무엇을 뜻하는지 쓰시오.
□ 계산을 설명할 수 있다□ 조건을 확인했다□ 질문을 적었다
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여인수의 전치가 필요한 이유

$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&4\\5&6&0\end{bmatrix}$를 사용한다. 프레젠테이션의 원소 선택 화면과 계산 단계를 보며 기록하시오.

  1. 첫째 행의 소행렬식 $M_{11},M_{12},M_{13}$과 여인수 $C_{11},C_{12},C_{13}$를 구하고 $\det A$를 계산한다.
  2. 여인수 행렬 $C=\begin{bmatrix}-24&20&-5\\18&-15&4\\5&-4&1\end{bmatrix}$를 전치하여 $\operatorname{adj}(A)$를 적는다.
  3. $A\operatorname{adj}(A)$의 (1,1) 성분과 (1,2) 성분을 계산한다. 왜 전치해야 같은 행의 여인수 전개가 되는가? 역행렬도 적는다.