고급대수 · 15차시 · 1/3

변환이 보존하는 성질

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오늘 할 일 회전·대칭·아핀변환이 보존하는 성질을 비교하고 적용 조건을 밝힌다.

회전·대칭·정사영을 계산했으므로 이번에는 어떤 관계가 유지되는지 비교한다. 평행이동을 더한 아핀변환과 사영변환은 구별한다.

먼저 확인 $S(x,y)=(-x,y)$일 때 $(3,4)$와 $S(3,4)$의 길이를 비교하시오.
풀이 읽기선형변환과 아핀변환의 범위

\(F(x)=Ax+b\)에서 \(b\ne0\)이면 원점이 b로 이동한다. 가역 A에 대해 선분의 비는 유지된다.

\[F((1-t)p+tq)=(1-t)F(p)+tF(q)\]

사영변환은 선택 심화이다. 동차좌표와 분모가 0이 되는 점을 먼저 다루고, 길이·평행성 보존을 일반화하지 않는다.

설명을 읽고 개념 정리

주의할 점 길이와 각도는 모든 가역 선형변환에서 보존되지 않는다. 회전·반사 같은 직교변환에서 보존된다.
고급대수 · 15차시 · 2/3

변환이 보존하는 성질

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빈칸을 채우며 한 문제 풀기

보존 성질 비교

$T(x)=Ax+b$에서 선분의 중점이 보존됨을 확인하자.

1단계두 점 $p,q$의 중점은 $m=\underline{\hspace{2.0cm}}$이다.
2단계$T(m)=A\frac{p+q}{2}+b$이다.
3단계$\frac{T(p)+T(q)}2=\underline{\hspace{3.2cm}}=T(m)$이다.

기초 계산과 개념 확인

  1. 1기초
    평행이동이 보존하는 성질을 거리, 선분의 방향, 원점 중에서 모두 고르시오.
  2. 2기초
    $A=\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}$가 벡터 $(1,1)$의 길이를 보존하는지 계산하시오.
  3. 3개념
    가역 선형변환이 평행한 두 직선을 다시 평행한 직선으로 보내는 이유를 방향벡터로 설명하시오.
고급대수 · 15차시 · 3/3

변환이 보존하는 성질

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직접 풀고 이유 설명하기

4·5번은 수업 중 연습, 6번은 선택 심화입니다. 식을 세운 이유와 검산을 함께 적습니다.

  1. 4적용
    $90^\circ$ 회전 $R(x,y)=(-y,x)$가 길이를 보존함을 $x^2+y^2$로 확인하시오.
  2. 5적용
    아핀변환이 선분을 $1:2$로 내분하는 점을 같은 비율의 내분점으로 보내는지 식으로 확인하시오.
  3. 6선택 심화
    가역 사영변환에서 길이와 평행성은 깨질 수 있지만 공선성은 보존된다는 말의 의미를 간단한 그림 설명 문장으로 쓰시오.
마무리 확인 변환을 분류할 때 불변량을 찾는 것이 유용한 이유를 쓰시오.
□ 계산을 설명할 수 있다□ 조건을 확인했다□ 질문을 적었다