고급대수 · 16차시 · 1/3

고윳값과 고유벡터

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오늘 할 일 특성방정식으로 고윳값을 구한 뒤 각 고유공간을 계산한다.

행렬식이 0이면 대응하는 동차방정식에 영벡터가 아닌 해가 있다. 이를 A−λI에 적용하여 자신의 실수배로 변하는 방향을 찾는다.

먼저 확인 $\det\begin{bmatrix}2-\lambda&1\\1&2-\lambda\end{bmatrix}$를 전개하시오.
풀이 읽기고윳값 다음에 고유벡터 구하기

\(A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}\)를 사용한다.

\[\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)^2-1=(\lambda-1)(\lambda-3)\]

λ=3이면 −x+y=0이어서 \(v=(1,1)\), λ=1이면 x+y=0이어서 \(v=(1,-1)\)를 택한다. 두 벡터를 A에 곱해 검산한다.

설명을 읽고 개념 정리

주의할 점 영벡터는 모든 $\lambda$에 대해 식을 만족하므로 고유벡터에서 반드시 제외한다.
고급대수 · 16차시 · 2/3

고윳값과 고유벡터

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빈칸을 채우며 한 문제 풀기

고윳값과 고유공간

$A=\begin{bmatrix}3&1\\0&2\end{bmatrix}$의 고윳값과 고유벡터를 구하자.

1단계$\det(A-\lambda I)=(3-\lambda)(2-\lambda)$이므로 $\lambda=\underline{\hspace{2.0cm}}$이다.
2단계$\lambda=3$일 때 고유공간은 $\underline{\hspace{3.2cm}}$이다.
3단계$\lambda=2$일 때 고유공간은 $\underline{\hspace{3.2cm}}$이다.

기초 계산과 개념 확인

  1. 1기초
    $A=\operatorname{diag}(5,-2)$의 고윳값과 대응하는 표준기저 고유벡터를 쓰시오.
  2. 2기초
    $Av=-4v$일 때 변환 후 방향과 길이가 어떻게 되는지 설명하시오.
  3. 3개념
    $A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}$에서 $(1,1)$이 고유벡터인지 확인하고 고윳값을 구하시오.
고급대수 · 16차시 · 3/3

고윳값과 고유벡터

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직접 풀고 이유 설명하기

4·5번은 수업 중 연습, 6번은 선택 심화입니다. 식을 세운 이유와 검산을 함께 적습니다.

  1. 4적용
    $A=\begin{bmatrix}4&2\\0&1\end{bmatrix}$의 특성다항식과 고윳값을 구하시오.
  2. 5적용
    앞 행렬에서 $\lambda=1$에 대응하는 고유공간의 기저를 구하시오.
  3. 6선택 심화
    $v_1,v_2$가 고윳값 $3,1$의 고유벡터이고 $x=2v_1-v_2$일 때 $A^4x$를 구하시오.
마무리 확인 고유벡터가 반복변환을 단순하게 만드는 이유를 식으로 쓰시오.
□ 계산을 설명할 수 있다□ 조건을 확인했다□ 질문을 적었다