고급대수 · 17차시 · 1/3

대각화의 가능성과 실패

학번이름
오늘 할 일 독립인 고유벡터의 수와 실수·복소수 범위를 확인해 대각화 여부를 판정한다.

고윳값을 구한 다음 각 고유공간을 실제로 푼다. 고윳값의 중복도만으로 대각화 여부를 판단하지 않는다.

먼저 확인 $\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}(x,y)^T=0$의 해를 구하시오.
풀이 읽기같은 중근을 갖는 두 행렬

\(A=2I\), \(J=\begin{bmatrix}2&1\\0&2\end{bmatrix}\)는 모두 특성다항식이 \((t-2)^2\)이다.

\[\ker(A-2I)=\mathbb R^2,\qquad\ker(J-2I)=\{(x,0):x\in\mathbb R\}\]

A는 독립인 고유벡터 둘을 택할 수 있지만 J는 하나의 방향뿐이다. 그래서 A만 대각화할 수 있다.

설명을 읽고 개념 정리

주의할 점 고윳값의 개수가 아니라 일차독립인 고유벡터의 총개수를 확인한다.
고급대수 · 17차시 · 2/3

대각화의 가능성과 실패

학번이름

빈칸을 채우며 한 문제 풀기

중근 점검

$A=\begin{bmatrix}2&1\\0&2\end{bmatrix}$가 대각화 가능한지 판정하자.

1단계특성다항식은 $(2-\lambda)^2$이므로 고윳값은 $\underline{\hspace{2.0cm}}$뿐이다.
2단계$(A-2I)v=0$에서 $v_2=0$이므로 고유공간 차원은 이다.
3단계$\mathbb R^2$의 고유기저를 만들 수 없어 하다.

기초 계산과 개념 확인

  1. 1기초
    $A=\operatorname{diag}(3,3)$이 대각화 가능한지 설명하시오.
  2. 2기초
    서로 다른 고윳값 3개를 갖는 $3\times3$ 행렬의 대각화 가능 여부를 판정하시오.
  3. 3개념
    $\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}$의 고유공간 차원을 구하고 대각화 가능 여부를 판정하시오.
고급대수 · 17차시 · 3/3

대각화의 가능성과 실패

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직접 풀고 이유 설명하기

4·5번은 수업 중 연습, 6번은 선택 심화입니다. 식을 세운 이유와 검산을 함께 적습니다.

  1. 4적용
    $A=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$의 특성방정식과 복소 고윳값을 구하시오.
  2. 5적용
    앞의 회전행렬이 $\mathbb R$에서는 대각화 불가능하지만 $\mathbb C$에서는 가능한 이유를 설명하시오.
  3. 6선택 심화
    $3\times3$ 행렬의 고윳값이 $2$와 $5$이고, 각 고유공간 차원이 2와 1일 때 대각화 가능 여부를 판정하시오.
마무리 확인 대각화 가능 여부를 판단하는 핵심 질문을 한 문장으로 쓰시오.
□ 계산을 설명할 수 있다□ 조건을 확인했다□ 질문을 적었다