ADVANCED ALGEBRA · LESSON 18 · 1/2
고유기저와 대각화 계산
학번
이름
오늘의 목표
고유벡터 행렬 $P$를 구성하고 $P^{-1}AP=D$로 변환과 거듭제곱을 단순화한다.
핵심 개념 빈칸 노트
$P$의 열에 $A$의
를 놓으면 고유기저의 좌표변환행렬이 된다.
$D$의 대각성분은 $P$의 열 순서와 대응하는
이다.
$P^{-1}AP=D$와 동치인 식은 $A=\underline{\hspace{2.2cm}}$이다.
$A^n=\underline{\hspace{2.2cm}}$이므로 큰 거듭제곱 계산이 단순해진다.
따라 풀기
직교 고유기저
$A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}$를 대각화하자.
1단계
고윳값 $3,1$의 고유벡터로 각각 $(1,1)$, $(1,-1)$을 잡는다.
2단계
$P=\underline{\hspace{3.8cm}}$, $D=\underline{\hspace{3.8cm}}$이다.
3단계
따라서 $P^{-1}AP=\underline{\hspace{2.2cm}}$이다.
실수 방지
$P$의 고유벡터 열 순서를 바꾸면 $D$의 고윳값 순서도 반드시 함께 바꾼다.
ADVANCED ALGEBRA · LESSON 18 · 2/2
고유기저와 대각화 계산
학번
이름
연습 문제 · 쉬운 계산에서 심화까지
1
기초
$D=\operatorname{diag}(4,-2)$일 때 $D^5$를 구하시오.
2
기초
$P^{-1}AP=D$에서 양변을 정리하여 $A$를 $P,D$로 나타내시오.
3
개념
고유기저에서 대각행렬이 각 좌표 성분에 하는 일을 설명하시오.
4
적용
$A=\begin{bmatrix}4&1\\0&2\end{bmatrix}$의 고윳값과 대응 고유벡터를 구해 가능한 $P,D$를 하나 쓰시오.
5
적용
$A=P\operatorname{diag}(2,1/2)P^{-1}$이고 $x=3v_1-2v_2$일 때 $A^3x$를 고유벡터 $v_1,v_2$로 나타내시오.
6
심화
대각화 가능한 행렬 $A$의 고윳값이 모두 1일 때 반드시 $A=I$인지 판정하고 이유를 쓰시오.
나가기 전 한 문장
$P^{-1}AP$의 오른쪽부터 세 좌표 이동을 말로 쓰시오.
□ 개념을 설명할 수 있다
□ 계산을 다시 확인했다
□ 질문이 있다