고급대수 · 18차시 · 1/3

고유기저와 대각화 계산

학번이름
오늘 할 일 고유벡터로 기저변환행렬을 만들고 대각행렬을 이용해 거듭제곱을 계산한다.

17차시에서 고유기저의 존재를 확인했다. 이제 그 기저로 좌표를 바꾸어 실제 행렬곱과 거듭제곱을 계산한다.

먼저 확인 $Av_1=3v_1$, $Av_2=v_2$이면 $A(2v_1-v_2)$는?
풀이 읽기구체적인 대각화와 거듭제곱

\(A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}\), \(P=\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}\)이다.

\[D=\begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix},\quad A^n=PD^nP^{-1}=\frac12\begin{bmatrix}3^n+1&3^n-1\\3^n-1&3^n+1\end{bmatrix}\]

n=1을 대입하여 원래 A를 얻는지 확인한다. 반복할 때 중간의 P⁻¹P가 I가 되어 사라집니다.

설명을 읽고 개념 정리

주의할 점 $P$의 고유벡터 열 순서를 바꾸면 $D$의 고윳값 순서도 반드시 함께 바꾼다.
고급대수 · 18차시 · 2/3

고유기저와 대각화 계산

학번이름

빈칸을 채우며 한 문제 풀기

직교 고유기저

$A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}$를 대각화하자.

1단계고윳값 $3,1$의 고유벡터로 각각 $(1,1)$, $(1,-1)$을 잡는다.
2단계$P=\underline{\hspace{3.2cm}}$, $D=\underline{\hspace{3.2cm}}$이다.
3단계따라서 $P^{-1}AP=\underline{\hspace{2.0cm}}$이다.

기초 계산과 개념 확인

  1. 1기초
    $D=\operatorname{diag}(4,-2)$일 때 $D^5$를 구하시오.
  2. 2기초
    $P^{-1}AP=D$에서 양변을 정리하여 $A$를 $P,D$로 나타내시오.
  3. 3개념
    고유기저에서 대각행렬이 각 좌표 성분에 하는 일을 설명하시오.
고급대수 · 18차시 · 3/3

고유기저와 대각화 계산

학번이름

직접 풀고 이유 설명하기

4·5번은 수업 중 연습, 6번은 선택 심화입니다. 식을 세운 이유와 검산을 함께 적습니다.

  1. 4적용
    $A=\begin{bmatrix}4&1\\0&2\end{bmatrix}$의 고윳값과 대응 고유벡터를 구해 가능한 $P,D$를 하나 쓰시오.
  2. 5적용
    $A=P\operatorname{diag}(2,1/2)P^{-1}$이고 $x=3v_1-2v_2$일 때 $A^3x$를 고유벡터 $v_1,v_2$로 나타내시오.
  3. 6선택 심화
    대각화 가능한 행렬 $A$의 고윳값이 모두 1일 때 반드시 $A=I$인지 판정하고 이유를 쓰시오.
마무리 확인 $P^{-1}AP$의 오른쪽부터 세 좌표 이동을 말로 쓰시오.
□ 계산을 설명할 수 있다□ 조건을 확인했다□ 질문을 적었다