고급대수 · 19차시 · 1/3

행렬 분해의 목적과 선택

학번이름
오늘 할 일 행렬의 조건과 문제의 목적을 보고 LU·QR·고유분해·SVD의 쓰임을 구별한다.

이번 차시는 분해의 개요이다. 이미 배운 소거와 직교화를 비교하고 20–24차시에서 각 계산을 자세히 다룬다.

먼저 확인 $\begin{bmatrix}2&1\\0&3\end{bmatrix}(x,y)^T=(5,3)^T$를 푸시오.
풀이 읽기분해마다 요구하는 조건

LU는 행연산, QR은 열의 직교화, SVD는 입력·출력의 직교방향을 정리한다.

\[PA=LU,\qquad A=QR,\qquad A=U\Sigma V^T\]

P는 필요한 행 교환을 기록한다. 대각화는 정사각행렬과 고유기저가 필요하지만 SVD는 직사각행렬에도 존재한다. 각 분해의 계산은 다음 차시에서 다룹니다.

설명을 읽고 개념 정리

주의할 점 분해 이름만 외우지 말고 행렬의 모양·대칭성·구하려는 결과를 먼저 확인한다.
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행렬 분해의 목적과 선택

학번이름

빈칸을 채우며 한 문제 풀기

목적에 맞는 분해

상황마다 가장 직접적인 분해를 고르자.

1단계같은 $A$에 여러 $b$:
2단계$Ax\approx b$의 최소제곱:
3단계직사각형 데이터의 압축:

기초 계산과 개념 확인

  1. 1기초
    같은 가역 정사각행렬 $A$에 대해 우변 100개를 풀 때 적합한 분해를 고르시오.
  2. 2기초
    행이 열보다 많은 행렬 $A$의 과잉결정계 $Ax\approx b$에 적합한 분해를 고르시오.
  3. 3개념
    실수 대칭행렬의 주축 방향을 찾는 데 적합한 분해를 쓰시오.
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행렬 분해의 목적과 선택

학번이름

직접 풀고 이유 설명하기

4·5번은 수업 중 연습, 6번은 선택 심화입니다. 식을 세운 이유와 검산을 함께 적습니다.

  1. 4적용
    사진 행렬의 저장 용량을 줄이면서 오차를 최소화하려 할 때 사용할 분해와 조작을 쓰시오.
  2. 5적용
    LU와 QR에서 각각 삼각행렬이 계산을 쉽게 만드는 이유를 설명하시오.
  3. 6선택 심화
    QR 분해의 $Q$는 정규직교 열을, $R$은 삼각형 모양의 계수를 담는다. $R=\begin{bmatrix}2&1\\0&3\end{bmatrix}$, $Q^Tb=(5,3)^T$일 때 $R\hat x=Q^Tb$를 풀고, 어느 성분부터 구했는지 쓰시오.
마무리 확인 행렬 분해를 선택할 때 먼저 확인할 두 가지를 쓰시오.
□ 계산을 설명할 수 있다□ 조건을 확인했다□ 질문을 적었다