오늘 할 일 소거 배수로 LU를 구성하고 촐레스키 분해를 제곱합 표현과 연결한다.
가우스 소거에 쓴 배수를 저장하면 우변이 달라져도 재사용할 수 있다. 대칭 양의 정부호인 경우에는 촐레스키 분해를 쓴다.
먼저 확인 $\begin{bmatrix}2&1\\6&5\end{bmatrix}$에서 둘째 행의 첫 성분을 없앨 배수는?
풀이 읽기두 삼각방정식의 계산
이 예에서는 $A=\begin{bmatrix}2&1\\4&3\end{bmatrix}=LU$, $L=\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix}$, $U=\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}$를 사용한다.
\(Ax=(3,7)^T\)에서 \(Ly=b\)부터 풀고 \(Ux=y\)를 풉니다.
\[y_1=3,\quad2y_1+y_2=7\Rightarrow y_2=1,\quad x_2=1,\quad2x_1+x_2=3\Rightarrow x_1=1\]
행 교환을 했다면 Pb를 우변으로 사용한다. 촐레스키 분해는 실수 대칭 양의 정부호 행렬이라는 조건을 추가로 요구한다.
설명을 읽고 개념 정리
- $A=LU$에서 $L$은 소거 , $U$는 소거 뒤의 상삼각행렬을 담는다.
- $Ax=b$는 $Ly=b$와 $\underline{\hspace{2.0cm}}$ 두 삼각계로 나뉜다.
- 대칭 양의 정부호 행렬은 $H=\underline{\hspace{2.0cm}}$로 분해할 수 있다.
- $H=LL^\mathsf T$이면 $x^\mathsf THx=\underline{\hspace{2.0cm}}$이고, $x\ne0$일 때 이 값은 양수이다.
주의할 점 행 교환이 필요하면 단순히 $A=LU$가 아니라 순열행렬을 포함한 $PA=LU$를 사용한다.