고급대수 · 21차시 · 1/3

QR과 최소제곱

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오늘 할 일 잔차의 직교 조건을 설명하고 정규방정식과 QR로 최소제곱해를 구한다.

8차시의 정사영에서 오차가 직교했다. 정확한 해가 없는 방정식에서도 열공간 위의 가장 가까운 점을 같은 조건으로 찾는다.

먼저 확인 $u=(1,1)$과 $r=(1,-1)$이 직교하는지 확인하시오.
풀이 읽기최소점의 조건을 정사영으로 유도

최적 예측 \(X\hat\beta\)와 y의 차이는 X의 열공간에 직교한다.

\[X^T(y-X\hat\beta)=0\quad\Longrightarrow\quad X^TX\hat\beta=X^Ty\]

열들이 독립이면 해가 유일한다. QR에서는 Rβ̂=Qᵀy를 풀어 같은 최소제곱해를 구한다.

설명을 읽고 개념 정리

주의할 점 잔차는 관측값에서 예측값을 뺀 $r=b-A\hat x$로 일관되게 정의한다.
고급대수 · 21차시 · 2/3

QR과 최소제곱

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빈칸을 채우며 한 문제 풀기

직선 맞추기

점 $(0,1),(1,2),(2,2)$에 $y=a+bx$를 최소제곱으로 맞추자.

1단계정규방정식은 $3a+3b=5$, $3a+5b=6$이다.
2단계두 식을 빼면 $2b=1$이므로 $b=\underline{\hspace{2.0cm}}$이다.
3단계$a=\underline{\hspace{2.0cm}}$이므로 $\hat y=\frac76+\frac12x$이다.

기초 계산과 개념 확인

  1. 1기초
    $Q$의 열이 정규직교일 때 $Q^\mathsf TQ$를 쓰시오.
  2. 2기초
    예측값이 $(2,3,5)$, 관측값이 $(1,4,6)$일 때 잔차 $b-\hat b$를 구하시오.
  3. 3개념
    최소제곱 잔차가 $A$의 각 열과 직교한다는 조건을 행렬을 사용한 식으로 쓰시오.
고급대수 · 21차시 · 3/3

QR과 최소제곱

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직접 풀고 이유 설명하기

4·5번은 수업 중 연습, 6번은 선택 심화입니다. 식을 세운 이유와 검산을 함께 적습니다.

  1. 4적용
    $A=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\1&1\end{bmatrix}$, $b=(1,2,4)^\mathsf T$의 정규방정식을 세우고 최소제곱해를 구하시오.
  2. 5적용
    $A=QR$에서 $Q^\mathsf Tb=(6,-2)^\mathsf T$, $R=\begin{bmatrix}3&1\\0&2\end{bmatrix}$일 때 $\hat x$를 구하시오.
  3. 6선택 심화
    $A$의 열들이 일차독립이면 최소제곱해가 유일한 이유를 $R$ 또는 $A^\mathsf TA$의 가역성과 연결해 설명하시오.
마무리 확인 최소제곱의 기하적 조건과 계산식 하나를 연결해 쓰시오.
□ 계산을 설명할 수 있다□ 조건을 확인했다□ 질문을 적었다