핵심 개념 빈칸 노트

• 최소제곱해 $\hat x$의 잔차 $r=b-A\hat x$는 $A$의 과 직교한다.
• 잔차 직교 조건은 정상방정식 $\underline{\hspace{3.8cm}}$이다.
• $A=QR$이면 최소제곱 문제는 $\underline{\hspace{3.8cm}}$로 바뀐다.
• $Q$의 열은 이므로 $Q^\mathsf TQ=I$이다.

연습 문제 · 쉬운 계산에서 심화까지

1. 1기초
   $Q$의 열이 직교정규일 때 $Q^\mathsf TQ$를 쓰시오.
2. 2기초
   예측값이 $(2,3,5)$, 관측값이 $(1,4,6)$일 때 잔차 $b-\hat b$를 구하시오.
3. 3개념
   최소제곱 잔차가 $A$의 각 열과 직교한다는 조건을 행렬식으로 쓰시오.
4. 4적용
   $A=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\1&1\end{bmatrix}$, $b=(1,2,4)^\mathsf T$의 정상방정식을 세우고 최소제곱해를 구하시오.
5. 5적용
   $A=QR$에서 $Q^\mathsf Tb=(6,-2)^\mathsf T$, $R=\begin{bmatrix}3&1\\0&2\end{bmatrix}$일 때 $\hat x$를 구하시오.
6. 6심화
   $A$의 열들이 일차독립이면 최소제곱해가 유일한 이유를 $R$ 또는 $A^\mathsf TA$의 가역성과 연결해 설명하시오.