고급대수 · 22차시 · 1/3

대칭행렬과 레일리 몫

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오늘 할 일 레일리 몫의 범위를 고윳값으로 구하고 최댓값·최솟값을 만드는 방향을 찾는다.

대칭행렬에는 정규직교 고유기저가 있다. 그 기저에서 이차형식은 고윳값을 가중평균하는 계산이 된다.

먼저 확인 $x=(3,4)$의 길이 제곱과 단위벡터를 구하시오.
풀이 읽기서로 다른 고윳값의 직교성 증명

\(Au=\lambda u,Av=\mu v\)이고 \(\lambda\ne\mu\)라고 하자.

\[\lambda(u\cdot v)=(Au)\cdot v=u\cdot(Av)=\mu(u\cdot v)\Rightarrow u\cdot v=0\]

고윳값이 같으면 이 증명으로 직교를 결론 낼 수 없다. 같은 고유공간 안에서 그람–슈미트로 직교기저를 고릅니다.

설명을 읽고 개념 정리

주의할 점 레일리 몫은 벡터 길이에 무관하다. $c\ne0$이면 $R_A(cx)=R_A(x)$이다.
고급대수 · 22차시 · 2/3

대칭행렬과 레일리 몫

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빈칸을 채우며 한 문제 풀기

방향별 증가율

$A=\operatorname{diag}(6,2)$, $x=(3,4)$의 레일리 몫을 구하자.

1단계$x^\mathsf TAx=6\cdot9+2\cdot16=\underline{\hspace{2.0cm}}$이다.
2단계$x^\mathsf Tx=9+16=\underline{\hspace{2.0cm}}$이다.
3단계$R_A(x)=\underline{\hspace{2.0cm}}$이며 $2$와 $6$ 사이에 있다.

기초 계산과 개념 확인

  1. 1기초
    $A=\operatorname{diag}(7,-1)$에서 단위벡터 $e_1,e_2$의 레일리 몫을 각각 구하시오.
  2. 2기초
    대칭행렬의 고윳값이 $-2,4,9$일 때 레일리 몫의 가능한 범위를 쓰시오.
  3. 3개념
    $Q$가 직교행렬일 때 $Q^{-1}=Q^\mathsf T$인 조건을 열벡터로 설명하시오.
고급대수 · 22차시 · 3/3

대칭행렬과 레일리 몫

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직접 풀고 이유 설명하기

4·5번은 수업 중 연습, 6번은 선택 심화입니다. 식을 세운 이유와 검산을 함께 적습니다.

  1. 4적용
    $A=\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}$의 최대 레일리 몫과 그 방향을 구하시오.
  2. 5적용
    앞 행렬의 최소 레일리 몫과 그 방향을 구하시오.
  3. 6선택 심화
    대칭행렬 $A$의 고유기저에서 $x=\sum c_iq_i$일 때 $R_A(x)$가 고윳값들의 가중평균임을 식으로 나타내시오.
마무리 확인 레일리 몫의 최댓값·최솟값과 그 값을 만드는 방향을 쓰시오.
□ 계산을 설명할 수 있다□ 조건을 확인했다□ 질문을 적었다