고급대수 · 23차시 · 1/3

이차형식·주축·헤세 행렬

학번이름
오늘 할 일 이차형식을 대칭행렬로 나타내고 주축과 고윳값의 부호로 형태를 판단한다.

22차시의 이차형식을 좌표로 전개한다. 교차항을 없애는 주축을 찾은 뒤 미분을 배운 경우 헤세 행렬로 확장한다.

먼저 확인 $[x\ y]\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}(x,y)^T$를 전개하시오.
풀이 읽기직교좌표에서 교차항 제거

\(A=QDQ^T\)이고 \(x=Qz\)로 두면 \(Q^TQ=I\)를 사용할 수 있다.

\[x^TAx=z^TDz=\lambda_1z_1^2+\lambda_2z_2^2\]

모든 고윳값이 양수면 원점에서 엄격한 최솟값을 갖습니다. 양수와 음수가 섞이면 방향에 따라 증가·감소하는 안장 형태이다.

설명을 읽고 개념 정리

주의할 점 $xy$의 계수를 행렬의 한 비대각성분에 그대로 넣지 말고 대칭적으로 절반씩 나눈다.
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이차형식·주축·헤세 행렬

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빈칸을 채우며 한 문제 풀기

교차항 제거

$q(x,y)=5x^2+4xy+2y^2$의 대칭행렬을 쓰고 정부호성을 판정하자.

1단계$A=\underline{\hspace{3.2cm}}$이다.
2단계특성다항식은 $\lambda^2-7\lambda+6$이므로 고윳값은 $\underline{\hspace{2.0cm}}$이다.
3단계두 고윳값이 양수이므로 $q$는 이다.

기초 계산과 개념 확인

  1. 1기초
    $q(x,y)=3x^2-6xy+4y^2$를 $x^\mathsf TAx$로 나타내는 대칭행렬 $A$를 구하시오.
  2. 2기초
    $q(x,y)=2x^2-5y^2$의 등위선 $q=1$이 타원, 쌍곡선, 포물선 중 무엇인지 고르시오.
  3. 3개념
    직교 좌표변환 $x=Qz$가 $x^\mathsf TAx$를 $z^\mathsf TDz$로 바꾸는 과정을 쓰시오.
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이차형식·주축·헤세 행렬

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직접 풀고 이유 설명하기

4·5번은 수업 중 연습, 6번은 선택 심화입니다. 식을 세운 이유와 검산을 함께 적습니다.

  1. 4적용
    $A=\begin{bmatrix}4&0\\0&9\end{bmatrix}$일 때 $x^\mathsf TAx=36$의 반축 길이를 구하시오.
  2. 5적용
    $f(x,y)=x^2+4xy+5y^2-2x$의 헤세 행렬을 구하고 양의 정부호인지 판정하시오.
  3. 6선택 심화
    앞 함수의 유일한 최소점을 $\nabla f=0$으로 구하시오.
마무리 확인 고윳값의 부호로 타원형·안장형 이차형식을 어떻게 구분하는지 쓰시오.
□ 계산을 설명할 수 있다□ 조건을 확인했다□ 질문을 적었다