ADVANCED ALGEBRA · LESSON 23 · 1/2

이차형식·주축·헤세 행렬

학번이름
오늘의 목표이차형식을 대칭행렬로 표현하고 직교 고유기저에서 주축과 곡면의 형태를 판정한다.

핵심 개념 빈칸 노트

따라 풀기교차항 제거
$q(x,y)=5x^2+4xy+2y^2$의 대칭행렬을 쓰고 정부호성을 판정하자.
1단계$A=\underline{\hspace{3.8cm}}$이다.
2단계특성다항식은 $\lambda^2-7\lambda+6$이므로 고윳값은 $\underline{\hspace{2.2cm}}$이다.
3단계두 고윳값이 양수이므로 $q$는 이다.
실수 방지 $xy$의 계수를 행렬의 한 비대각성분에 그대로 넣지 말고 대칭적으로 절반씩 나눈다.
ADVANCED ALGEBRA · LESSON 23 · 2/2

이차형식·주축·헤세 행렬

학번이름

연습 문제 · 쉬운 계산에서 심화까지

  1. 1기초
    $q(x,y)=3x^2-6xy+4y^2$를 $x^\mathsf TAx$로 나타내는 대칭행렬 $A$를 구하시오.
  2. 2기초
    $q(x,y)=2x^2-5y^2$의 등위선 $q=1$이 타원, 쌍곡선, 포물선 중 무엇인지 고르시오.
  3. 3개념
    직교 좌표변환 $x=Qz$가 $x^\mathsf TAx$를 $z^\mathsf TDz$로 바꾸는 과정을 쓰시오.
  4. 4적용
    $A=\begin{bmatrix}4&0\\0&9\end{bmatrix}$일 때 $x^\mathsf TAx=36$의 반축 길이를 구하시오.
  5. 5적용
    $f(x,y)=x^2+4xy+5y^2-2x$의 Hessian을 구하고 양의 정부호인지 판정하시오.
  6. 6심화
    앞 함수의 유일한 최소점을 $\nabla f=0$으로 구하시오.
나가기 전 한 문장 고윳값의 부호로 타원형·안장형 이차형식을 어떻게 구분하는지 쓰시오.
□ 개념을 설명할 수 있다□ 계산을 다시 확인했다□ 질문이 있다