고급대수 · 24차시 · 1/3

특잇값 분해(SVD)와 최적 저랭크 근사

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오늘 할 일 오른쪽·왼쪽 특이벡터과 특잇값을 구하고 작은 성분을 버릴 때의 오차를 계산한다.

대각화는 정사각행렬에 쓰지만 데이터 행렬은 직사각형일 수 있다. 정의역 위의 대칭행렬 $A^TA$에서 직교 방향을 찾는다.

먼저 확인 $A=\operatorname{diag}(3,-2)$일 때 $A^TA$를 구하시오.
풀이 읽기랭크 1 성분 하나가 하는 일

단위벡터 \(v_i\)에 대한 입력 성분을 추출하고, \(\sigma_i\)배하여 \(u_i\) 방향으로 보냅니다.

\[Ax=\sum_i\sigma_i u_i(v_i^Tx),\qquad A_k=\sum_{i=1}^k\sigma_i u_iv_i^T\]

특이값을 큰 순서로 놓으면 앞 k개를 남긴 행렬이 프로베니우스 노름에서 최적 랭크 k 이하 근사이다. σ=0에서는 나누지 않고 직교기저를 보충한다.

설명을 읽고 개념 정리

주의할 점 특잇값은 항상 0 이상이며 보통 큰 값부터 정렬한다.
고급대수 · 24차시 · 2/3

특잇값 분해(SVD)와 최적 저랭크 근사

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빈칸을 채우며 한 문제 풀기

대각행렬의 특잇값 분해

$A=\begin{bmatrix}5&0\\0&2\end{bmatrix}$의 SVD와 최적 랭크 1 근사를 구하자.

1단계$A^\mathsf TA=\operatorname{diag}(25,4)$이므로 특잇값은 $\underline{\hspace{2.0cm}}$이다.
2단계$U=V=I$, $\Sigma=\underline{\hspace{3.2cm}}$로 잡을 수 있다.
3단계최적 랭크 1 근사는 $A_1=\underline{\hspace{3.2cm}}$이다.

기초 계산과 개념 확인

  1. 1기초
    $A=\operatorname{diag}(3,-4)$의 특잇값을 구하시오.
  2. 2기초
    특잇값이 $7,2,0$인 행렬의 랭크를 구하시오.
  3. 3개념
    $Av_i=\sigma_i u_i$에서 $v_i,u_i,\sigma_i$가 각각 무엇을 뜻하는지 쓰시오.
고급대수 · 24차시 · 3/3

특잇값 분해(SVD)와 최적 저랭크 근사

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직접 풀고 이유 설명하기

4·5번은 수업 중 연습, 6번은 선택 심화입니다. 식을 세운 이유와 검산을 함께 적습니다.

  1. 4적용
    $A=\begin{bmatrix}0&2\\3&0\end{bmatrix}$에 대해 $A^\mathsf TA$와 특잇값을 구하시오.
  2. 5적용
    특잇값이 $9,4,1$인 행렬의 최적 랭크 1 근사와 랭크 2 근사에서, 가장 크게 늘어나는 방향으로 잰 오차(스펙트럴 노름)를 각각 쓰시오.
  3. 6선택 심화
    모든 성분의 오차를 함께 재는 프로베니우스 노름에서는 랭크 1 절단 오차가 제거한 특잇값들의 제곱합의 제곱근이다. 특잇값이 $6,3,2$일 때 오차를 구하시오.
마무리 확인 SVD가 직사각형 행렬의 압축에 적합한 이유를 쓰시오.
□ 계산을 설명할 수 있다□ 조건을 확인했다□ 질문을 적었다