고급대수 · 26차시 · 1/3

케일리–해밀턴 정리와 행렬 거듭제곱

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오늘 할 일 케일리–해밀턴 정리로 행렬 거듭제곱의 차수를 낮추어 계산한다.

대각화로 반복 계산을 줄였지만 고유기저가 없는 행렬도 있다. 특성다항식이 주는 관계는 대각화 여부와 무관하게 성립한다.

먼저 확인 $A^2=3A-2I$이면 $A^3$을 $A,I$로 나타내시오.
풀이 읽기작은 거듭제곱으로 환원하는 계산

\(Q=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}\)에서 직접 곱하면 \(Q^2=Q+I\)이다.

\[Q^3=2Q+I,\quad Q^4=3Q+2I,\quad Q^5=5Q+3I\]

한 번 얻은 관계식에 Q를 곱하고 Q²를 다시 Q+I로 바꾼다. 대각화를 하지 않아도 이 관계를 반복해서 거듭제곱의 차수를 낮출 수 있다.

설명을 읽고 개념 정리

주의할 점 특성다항식의 변수 $\lambda$를 행렬 $A$로 바꿀 때 상수항은 상수배한 단위행렬이 된다.
고급대수 · 26차시 · 2/3

케일리–해밀턴 정리와 행렬 거듭제곱

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빈칸을 채우며 한 문제 풀기

피보나치 행렬

$Q=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}$에 대해 $Q^6$을 차수 감소로 구하자.

1단계$\operatorname{tr}Q=1$, $\det Q=-1$이므로 $Q^2=Q+I$이다.
2단계$Q^3=Q(Q+I)=2Q+I$, $Q^4=3Q+2I$이다.
3단계$Q^5=5Q+3I$이므로 $Q^6=\underline{\hspace{2.0cm}}=\begin{bmatrix}13&8\\8&5\end{bmatrix}$이다.

기초 계산과 개념 확인

  1. 1기초
    $\operatorname{tr}A=5$, $\det A=6$인 $2\times2$ 행렬이 만족하는 케일리–해밀턴 식을 쓰시오.
  2. 2기초
    $A^2=3A-2I$일 때 $A^3$을 $A,I$로 나타내시오.
  3. 3개념
    케일리–해밀턴 정리가 큰 행렬 거듭제곱 계산을 줄이는 이유를 설명하시오.
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케일리–해밀턴 정리와 행렬 거듭제곱

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직접 풀고 이유 설명하기

4·5번은 수업 중 연습, 6번은 선택 심화입니다. 식을 세운 이유와 검산을 함께 적습니다.

  1. 4적용
    $B=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}$에 대해 특성관계를 구하고 $B^4$를 $B,I$로 나타내시오.
  2. 5적용
    $Q^2=Q+I$를 이용해 $Q^8$을 $Q,I$로 나타내시오.
  3. 6선택 심화
    가역행렬 $A$가 $A^2-4A+3I=0$을 만족할 때 $A^{-1}$을 $A,I$로 나타내시오.
마무리 확인 $2\times2$ 케일리–해밀턴 식을 대각합과 행렬식으로 쓰시오.
□ 계산을 설명할 수 있다□ 조건을 확인했다□ 질문을 적었다