ADVANCED ALGEBRA · LESSON 26 · 1/2

Cayley–Hamilton과 행렬 거듭제곱

학번이름
오늘의 목표특성다항식의 행렬 관계를 이용해 높은 차수의 행렬 거듭제곱을 낮춘다.

핵심 개념 빈칸 노트

따라 풀기피보나치 행렬
$Q=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}$에 대해 $Q^6$을 차수 감소로 구하자.
1단계특성관계는 $Q^2=\underline{\hspace{2.2cm}}$이다.
2단계반복하면 $Q^6=\underline{\hspace{2.2cm}}$이다.
3단계따라서 $Q^6=\underline{\hspace{3.8cm}}$이다.
실수 방지 특성다항식의 변수 $\lambda$를 행렬 $A$로 바꿀 때 상수항은 상수배한 단위행렬이 된다.
ADVANCED ALGEBRA · LESSON 26 · 2/2

Cayley–Hamilton과 행렬 거듭제곱

학번이름

연습 문제 · 쉬운 계산에서 심화까지

  1. 1기초
    $\operatorname{tr}A=5$, $\det A=6$인 $2\times2$ 행렬이 만족하는 케일리–해밀턴 식을 쓰시오.
  2. 2기초
    $A^2=3A-2I$일 때 $A^3$을 $A,I$로 나타내시오.
  3. 3개념
    케일리–해밀턴 정리가 큰 행렬 거듭제곱 계산을 줄이는 이유를 설명하시오.
  4. 4적용
    $B=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}$에 대해 특성관계를 구하고 $B^4$를 $B,I$로 나타내시오.
  5. 5적용
    $Q^2=Q+I$를 이용해 $Q^8$을 $Q,I$로 나타내시오.
  6. 6심화
    가역행렬 $A$가 $A^2-4A+3I=0$을 만족할 때 $A^{-1}$을 $A,I$로 나타내시오.
나가기 전 한 문장 $2\times2$ 케일리–해밀턴 식을 대각합과 행렬식으로 쓰시오.
□ 개념을 설명할 수 있다□ 계산을 다시 확인했다□ 질문이 있다