고급대수 · 27차시 · 1/3

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오늘 할 일 전이행렬의 정지분포를 구하고 반복이 그 분포로 수렴하는 조건을 구별한다.

반복 행렬곱에 확률의 조건을 더한다. 고윳값 1의 확률벡터를 찾는 일과 모든 초기분포가 그 벡터로 수렴하는 일은 구별한다.

먼저 확인 $P=\begin{bmatrix}0.7&0.2\\0.3&0.8\end{bmatrix}$의 각 열 합을 구하시오.
풀이 읽기정지분포를 방정식으로 계산

\(P\pi=\pi\)와 확률의 합 1을 함께 사용한다.

\[.8a+.3b=a,\quad a+b=1\Rightarrow .2a=.3b\Rightarrow(a,b)=(.6,.4)\]

정지분포는 움직이지 않는 분포이다. 모든 초기분포가 여기에 수렴하는지는 주기성과 다른 고윳값을 별도로 살펴야 한다.

설명을 읽고 개념 정리

주의할 점 이 자료는 상태벡터를 열벡터로 두므로 각 열의 합이 1인 전이행렬을 사용한다.
고급대수 · 27차시 · 2/3

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빈칸을 채우며 한 문제 풀기

두 상태의 정지분포

$P=\begin{bmatrix}0.7&0.2\\0.3&0.8\end{bmatrix}$의 정지분포를 구하자.

1단계$P\pi=\pi$에서 $0.3\pi_1=0.2\pi_2$를 얻는다.
2단계$\pi_1+\pi_2=1$과 함께 풀면 $\pi_1=\underline{\hspace{2.0cm}}$, $\pi_2=\underline{\hspace{2.0cm}}$이다.
3단계따라서 $\pi=\underline{\hspace{3.2cm}}$이다.

기초 계산과 개념 확인

  1. 1기초
    $P=\begin{bmatrix}0.6&0.1\\0.4&0.9\end{bmatrix}$가 열확률행렬인지 확인하시오.
  2. 2기초
    앞 행렬과 $x_0=(1,0)^\mathsf T$에 대해 $x_1$을 구하시오.
  3. 3개념
    $P\pi=\pi$가 장기적으로 변하지 않는 상태를 뜻하는 이유를 설명하시오.
고급대수 · 27차시 · 3/3

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직접 풀고 이유 설명하기

4·5번은 수업 중 연습, 6번은 선택 심화입니다. 식을 세운 이유와 검산을 함께 적습니다.

  1. 4적용
    $P=\begin{bmatrix}0.5&0.25\\0.5&0.75\end{bmatrix}$의 정지분포를 구하시오.
  2. 5적용
    $P=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$, $x_0=(1,0)^\mathsf T$일 때 $x_n$이 수렴하지 않는 이유를 쓰시오.
  3. 6선택 심화
    $G=\alpha P+(1-\alpha)ve^\mathsf T$에서 $0<\alpha<1$이고 $v$가 모든 성분이 양수인 확률벡터일 때, 임의 이동 항의 역할을 설명하시오. 여기서 $e$는 모든 성분이 1인 벡터이다.
마무리 확인 정지분포를 고유벡터의 언어로 정의하시오.
□ 계산을 설명할 수 있다□ 조건을 확인했다□ 질문을 적었다