고급대수 · 28차시 · 1/3

결합진동과 정규모드

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오늘 할 일 강성행렬의 고유벡터로 진동 모양을 구하고 고윳값에서 각진동수를 계산한다.

고유벡터로 초기변위와 초기속도를 나누면 결합된 운동을 독립인 진동으로 계산한다. 이 수업의 기본 모형은 질량을 1로 둔다.

먼저 확인 $K=\begin{bmatrix}2&-1\\-1&2\end{bmatrix}$에 $(1,1)^T$를 곱하시오.
풀이 읽기고윳값이 각진동수의 제곱인 이유

\(x(t)=v\cos(\omega t)\)를 가정하면 \(x''(t)=-\omega^2v\cos(\omega t)\)이다.

\[x''=-Kx\quad\Longrightarrow\quad Kv=\omega^2v\]

초기속도가 0인 경우 코사인만 사용한다. 일반적인 초기속도에는 사인항도 필요한다.

설명을 읽고 개념 정리

주의할 점 고윳값 자체가 각진동수가 아니라 질량행렬이 단위행렬일 때 각진동수의 제곱이다.
고급대수 · 28차시 · 2/3

결합진동과 정규모드

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빈칸을 채우며 한 문제 풀기

두 질량의 모드

$K=\begin{bmatrix}2&-1\\-1&2\end{bmatrix}$의 정규모드를 구하자.

1단계$(1,1)$에 대해 $K(1,1)=\underline{\hspace{2.0cm}}$이므로 동상 모드의 $\omega_1=\underline{\hspace{2.0cm}}$이다.
2단계$(1,-1)$에 대해 $K(1,-1)=\underline{\hspace{2.0cm}}$이다.
3단계역상 모드의 각진동수는 $\omega_2=\underline{\hspace{2.0cm}}$이다.

기초 계산과 개념 확인

  1. 1기초
    $K=\operatorname{diag}(4,9)$의 두 정규모드 각진동수를 구하시오.
  2. 2기초
    두 질량이 같은 방향, 같은 크기로 움직이는 변위벡터를 쓰시오.
  3. 3개념
    초기변위와 초기속도가 모두 같은 고유벡터 방향일 때 진동 모양이 유지되는 이유를 $Kv=\lambda v$로 설명하시오.
고급대수 · 28차시 · 3/3

결합진동과 정규모드

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직접 풀고 이유 설명하기

4·5번은 수업 중 연습, 6번은 선택 심화입니다. 식을 세운 이유와 검산을 함께 적습니다.

  1. 4적용
    $x_0=(3,1)$을 모드 $v_1=(1,1)$, $v_2=(1,-1)$의 합으로 분해하시오.
  2. 5적용
    앞의 초기변위에서 초기속도를 0으로 둔다. 동상·역상 모드의 진폭 계수를 쓰고 어느 모드가 더 빠른지 판정하시오.
  3. 6선택 심화
    질량행렬 $M\ne I$인 $Mx''+Kx=0$에서 정규모드가 만족하는 일반화 고윳값 문제를 유도하시오.
마무리 확인 정규모드의 고유벡터와 고윳값이 각각 물리적으로 무엇을 뜻하는지 쓰시오.
□ 계산을 설명할 수 있다□ 조건을 확인했다□ 질문을 적었다