오늘 할 일 그래프 라플라시안으로 이웃 간 차이와 에너지를 계산하고 고유모드를 해석한다.
진동에서 방향별 배율을 읽었듯 그래프에서는 이웃 간 차이가 작은 방향과 큰 방향을 고유벡터로 구분한다.
먼저 확인 세 점 경로 $1-2-3$에서 꼭짓점별 차수를 쓰시오.
풀이 읽기평균 보존과 반복의 조건
\(x_{n+1}=(I-\eta L)x_n\)에서 고유모드의 배율은 \(1-\eta\lambda\)이다.
\[\mathbf1^TL=0,\quad \mathbf1^Tx_{n+1}=\mathbf1^Tx_n,\quad 0<\eta<2/\lambda_{\max}\]
간선이 있는 연결 그래프에서 이 조건을 만족하면 양의 고윳값 모드의 진폭은 절댓값이 줄고 평균 모드는 남는다. 복소 푸리에 공식은 실수 고유모드를 배운 뒤 선택 심화로 다룹니다.
설명을 읽고 개념 정리
- 그래프 라플라시안은 $L=\underline{\hspace{2.0cm}}$이다.
- $(Lx)_i$는 꼭짓점 $i$의 값에서 이웃 값들을 비교한 를 모은다.
- 무방향 그래프에서 $x^\mathsf TLx=\sum_{\{i,j\}\in E}\underline{\hspace{2.0cm}}$이다.
- 작은 고윳값의 고유벡터는 그래프에서 천천히 변하는 모드이다.
주의할 점 인접행렬 $A$와 라플라시안 $L=D-A$를 혼동하지 않는다. 라플라시안의 행합은 0이다.