고급대수 · 30차시 · 1/3

상태공간·제어·시퀀스 모델

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오늘 할 일 상태 갱신식으로 여러 단계를 계산하고 안정성과 입력의 영향을 설명한다.

지금 상태에 행렬을 곱하는 반복에 외부 입력을 더한다. 상태 성분의 단위와 순서를 정하고 한 단계씩 대입한다.

먼저 확인 $x_{k+1}=0.5x_k+u_k$, $x_0=4$, $u_0=1$이면 $x_1$은?
풀이 읽기두 단계의 입력이 도착점에 미치는 영향

시간 간격 \(\Delta t\) 동안 가속도 u가 일정하면 다음 위치와 속도는 현재 두 값으로 결정된다.

\(x_1=Ax_0+Bu_0\)를 다음 단계 식에 대입한다.

\[x_2=A(Ax_0+Bu_0)+Bu_1=A^2x_0+ABu_0+Bu_1\]

u₀는 B로 상태에 들어간 뒤 A를 한 번 더 거칩니다. 이 차이가 제어행렬의 서로 다른 열 AB와 B를 만든다.

설명을 읽고 개념 정리

주의할 점 상태벡터의 성분 순서를 먼저 정한다. 여기서는 $(위치,속도)$ 순서이다.
고급대수 · 30차시 · 2/3

상태공간·제어·시퀀스 모델

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빈칸을 채우며 한 문제 풀기

위치·속도 갱신

$A=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix}1/2\\1\end{bmatrix}$, $x_0=(0,1)^\mathsf T$, $u_0=2$일 때 $x_1$을 구하자.

1단계$Ax_0=\underline{\hspace{2.0cm}}$이다.
2단계$Bu_0=\underline{\hspace{2.0cm}}$이다.
3단계$x_1=Ax_0+Bu_0=\underline{\hspace{2.0cm}}$이다.

기초 계산과 개념 확인

  1. 1기초
    $x_{k+1}=0.6x_k$, $x_0=10$일 때 $x_2$를 구하시오.
  2. 2기초
    $x_{k+1}=Ax_k$에서 $A=\operatorname{diag}(0.5,1.2)$일 때 어느 성분이 감쇠하고 어느 성분이 증가하는지 쓰시오.
  3. 3개념
    위치만 알고 속도를 모르면 다음 위치를 정확히 예측하기 어려운 이유를 상태의 관점에서 설명하시오.
고급대수 · 30차시 · 3/3

상태공간·제어·시퀀스 모델

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직접 풀고 이유 설명하기

4·5번은 수업 중 연습, 6번은 선택 심화입니다. 식을 세운 이유와 검산을 함께 적습니다.

  1. 4적용
    $A=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$, $x_0=(0,0)^\mathsf T$, $u_0=2,u_1=-1$일 때 $x_2$를 구하시오.
  2. 5적용
    $h_{k+1}=0.85h_k+u_k$에서 $u_k=0$, $h_0=8$일 때 $h_k$의 식과 극한을 구하시오.
  3. 6선택 심화
    두 단계 뒤 상태 $x_2=A^2x_0+ABu_0+Bu_1$을 유도하고 입력이 만들 수 있는 방향을 나타내는 행렬을 쓰시오.
마무리 확인 상태, 입력, 출력의 역할을 각각 한 구절로 쓰시오.
□ 계산을 설명할 수 있다□ 조건을 확인했다□ 질문을 적었다