ADVANCED ALGEBRA · LESSON 31 · 1/2
국소 선형화·Newton·Koopman
학번
이름
오늘의 목표
Newton 반복, Jacobian, Hessian을 이용한 국소 모델과 특징공간의 선형화를 구분한다.
핵심 개념 빈칸 노트
일변수 Newton 반복은 $x_{k+1}=\underline{\hspace{3.8cm}}$이다.
다변수 함수의 국소 선형화에는 도함수 대신
행렬을 쓴다.
최적화 Newton 단계는 $H(x_k)p_k=\underline{\hspace{3.8cm}}$를 푼다.
Koopman 관점은 상태 자체가 아니라 선택한
의 변화를 선형적으로 표현한다.
따라 풀기
Newton 반복
$f(x)=x^2-5$에서 $x_0=2$로 한 번 Newton 갱신하자.
1단계
$f(2)=-1$, $f'(2)=\underline{\hspace{2.2cm}}$이다.
2단계
$x_1=2-\frac{-1}{4}=\underline{\hspace{2.2cm}}$이다.
3단계
$x_1=2.25$는 $\sqrt5$에 더 가까운
이다.
실수 방지
도함수가 0에 가깝거나 시작점이 해에서 멀면 Newton 방법이 불안정하거나 수렴하지 않을 수 있다.
ADVANCED ALGEBRA · LESSON 31 · 2/2
국소 선형화·Newton·Koopman
학번
이름
연습 문제 · 쉬운 계산에서 심화까지
1
기초
$f(x)=x^2-10$, $x_0=3$에서 Newton 방법으로 $x_1$을 구하시오.
2
기초
$F(x,y)=(x^2+y,\,xy)$의 Jacobian $J_F(x,y)$를 구하시오.
3
개념
국소 선형근사가 기준점 근처에서만 정확한 이유를 고차항과 연결해 설명하시오.
4
적용
앞의 $F$를 $(1,2)$에서 선형화하여 $F(1.02,1.97)$을 어림하시오.
5
적용
$f(x,y)=x^2+2y^2-4x+8y$의 Hessian과 Newton 단계로 얻는 최소점을 구하시오.
6
심화
비선형 갱신 $x_{k+1}=x_k^2$에서 특징 $g(x)=x^2$를 쓰면 $g(x_{k+1})=g(x_k)^2$로 여전히 비선형이다. 이 예가 Koopman 특징 선택에 주는 교훈을 쓰시오.
나가기 전 한 문장
Newton, Jacobian 선형화, Koopman 관점이 각각 무엇을 선형화하는지 쓰시오.
□ 개념을 설명할 수 있다
□ 계산을 다시 확인했다
□ 질문이 있다