고급대수 · 31차시 · 1/3

한 점 근처의 선형화·뉴턴 방법·쿠프만 관점

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오늘 할 일 뉴턴 방법과 야코비 행렬의 근사를 계산하고 특징의 선형 갱신과 구별한다.

2차시의 작은 변화량 근사를 방정식 풀이에 사용한다. 편미분은 다른 변수를 고정하고 한 변수만 바꿀 때의 기울기이다.

먼저 확인 $f(x)=x^2-5$에서 $f(2)$와 $f'(2)$를 구하시오.
풀이 읽기야코비 행렬의 각 열 해석

\(F=(F_1,F_2)\)일 때 \(\partial F_i/\partial x_j\)는 다른 입력을 고정하고 j번째 입력만 조금 바꾼 비율이다.

\[J_F=\begin{bmatrix}\partial_xF_1&\partial_yF_1\\\partial_xF_2&\partial_yF_2\end{bmatrix},\quad F(z+h)-F(z)\approx J_F(z)h\]

앞에서 행렬의 열이 표준기저의 출력을 나타냈듯, 야코비 행렬의 열은 각 입력 방향의 국소 출력 변화를 나타냅니다.

설명을 읽고 개념 정리

주의할 점 도함수가 0에 가깝거나 시작점이 해에서 멀면 뉴턴 방법이 불안정하거나 수렴하지 않을 수 있다.
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한 점 근처의 선형화·뉴턴 방법·쿠프만 관점

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빈칸을 채우며 한 문제 풀기

뉴턴 반복

$f(x)=x^2-5$에서 $x_0=2$로 뉴턴 방법을 한 번 적용하자.

1단계$f(2)=-1$, $f'(2)=\underline{\hspace{2.0cm}}$이다.
2단계$x_1=2-\frac{-1}{4}=\underline{\hspace{2.0cm}}$이다.
3단계$x_1=2.25$는 $\sqrt5$에 더 가까운 이다.

기초 계산과 개념 확인

  1. 1기초
    $f(x)=x^2-10$, $x_0=3$에서 뉴턴 방법으로 $x_1$을 구하시오.
  2. 2기초
    $F(x,y)=(x^2+y,\,xy)$의 야코비 행렬 $J_F(x,y)$를 구하시오.
  3. 3개념
    선형근사에서 생략한 고차항이 정확도에 어떤 영향을 주는지 설명하시오.
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한 점 근처의 선형화·뉴턴 방법·쿠프만 관점

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직접 풀고 이유 설명하기

4·5번은 수업 중 연습, 6번은 선택 심화입니다. 식을 세운 이유와 검산을 함께 적습니다.

  1. 4적용
    앞의 $F$를 $(1,2)$에서 선형화하여 $F(1.02,1.97)$을 어림하시오.
  2. 5적용
    $f(x,y)=x^2+2y^2-4x+8y$의 헤세 행렬과 뉴턴 단계로 얻는 최소점을 구하시오.
  3. 6선택 심화
    비선형 갱신 $x_{k+1}=x_k^2$에서 특징 $g(x)=x^2$를 쓰면 $g(x_{k+1})=g(x_k)^2$로 여전히 비선형이다. 이 예가 쿠프만 특징 선택에 주는 교훈을 쓰시오.
마무리 확인 뉴턴 방법, 야코비 행렬을 이용한 근사, 쿠프만 관점이 각각 무엇을 선형화하는지 쓰시오.
□ 계산을 설명할 수 있다□ 조건을 확인했다□ 질문을 적었다