\(f(x)=2x\)
\[f(1+2)=6\]\[f(1)+f(2)=2+4=6\]
도입
두 계산은 언제 같을까?
먼저 더한 뒤 함수에 넣은 값과, 각각 함수에 넣은 뒤 더한 값을 비교한다.
\(g(x)=2x+1\)
\[g(1+2)=7\]\[g(1)+g(2)=3+5=8\]
관찰
\(f(x)=2x\)는 덧셈을 보존한다
\[\begin{aligned}f(u+v)&=2(u+v)\\&=2u+2v=f(u)+f(v)\end{aligned}\]
이 등식은 모든 \(u,v\)에서 성립한다.
조작
덧셈과 스칼라배를 직접 비교한다
\(T(1+2)=T(1)+T(2)\)
\(T(1.5c)=cT(1.5)\)
정의
선형변환은 두 연산을 보존한다
\[T(u+v)=T(u)+T(v)\]모든 \(u,v\)에서 성립
\[T(cu)=cT(u)\]모든 \(u,c\)에서 성립
두 조건을 합치면 \(T(au+bv)=aT(u)+bT(v)\)로 쓸 수 있다.
방법
선형인지 확인하는 방법
선형임을 보일 때
임의의 \(u,v,c\)로 두 등식을 계산한다.
\[\begin{aligned}T(u+v)&=3(u+v)\\&=3u+3v\\&=T(u)+T(v)\end{aligned}\]
선형이 아님을 보일 때
등식이 성립하지 않는 입력 하나를 찾는다.
\[\begin{aligned}h(1+1)&=4\\h(1)+h(1)&=2\\4&\ne2\end{aligned}\]
몇 개의 수를 대입해 모두 맞아도 모든 입력에서 성립했다는 증명은 아니다.
적용
정의로 세 함수를 분류한다
\(f(x)=3x\)
두 연산을 모두 보존한다.
→
\(g(x)=3x+2\)
\(g(0)=2\)이므로 선형이 아니다.
→
\(h(x)=x^2\)
\(h(2)\ne2h(1)\)이다.
확인
\(T(0)=0\)이면 선형변환일까?
\(h(x)=x^2\)도 \(h(0)=0\)을 만족한다.
정리
선형변환의 판정 기준
모든 입력에서 덧셈과 스칼라배를 보존
선형임을 보일 때는 문자로 증명
선형이 아님을 보일 때는 조건이 깨지는 입력 제시
다음 차시: 비선형함수를 한 점 근처에서 선형식으로 근사하는 방법