정의와 표기

선형변환의 정의

입력은 \(\mathbb R^n\), 출력은 \(\mathbb R^m\)의 벡터로 두고 성분별 덧셈과 실수배를 사용합니다. 함수 \(T:\mathbb R^n\to\mathbb R^m\)가 다음 두 조건을 모두 만족하면 선형변환이라 합니다.

첫째는 덧셈 보존, 둘째는 스칼라배 보존입니다. 모든 입력 \(u,v\)와 모든 실수 \(c\)에서 성립해야 합니다. 숫자 하나인 경우는 \(n=m=1\)로 포함됩니다.

설명과 계산

두 보존 조건과 선형결합

벡터에 실수 계수를 곱해 더한 \(au+bv\)를 선형결합이라 합니다. 두 정의를 차례로 적용하면 선형결합도 보존합니다.

반대로 이 등식이 모든 \(a,b,u,v\)에서 성립하면 \(a=b=1\)로 덧셈 보존을 얻고 \(b=0\)으로 실수배 보존을 얻습니다. 따라서 이 식 하나로 선형성을 증명해도 됩니다.

설명과 계산

영벡터의 상과 판정의 한계

선형변환이면 영벡터를 영벡터로 보냅니다. 따라서 \(T(0)\ne0\)이면 바로 선형이 아니라고 판정할 수 있습니다.

그러나 \(h(x)=x^2\)는 \(h(0)=0\)이면서 \(h(1+1)=4\ne2=h(1)+h(1)\)입니다. \(T(0)=0\)은 선형이기 위해 필요한 조건이지만 그것만으로 충분하지 않습니다.

01차시 · 유도와 계산

두 성분의 함수에서 선형성 증명

\(T(x,y)=(2x+y,y)\), \(u=(u_1,u_2),v=(v_1,v_2)\)로 둡니다.

평행이동 \(S(x,y)=(x+1,y)\)는 \(S(0,0)=(1,0)\)이므로 이 조건을 만족하지 않습니다.

계산·논증

매개변수에 따른 선형성

\(S_{a,b}(x,y)=(ax+y,bx+2y+ab)\)에서 \(a,b\)는 고정된 실수이다. ① 선형일 수 있으려면 \(a,b\)가 어떤 조건을 만족해야 하는가? ② 그 조건이면 실제로 선형임을 임의의 입력과 계수로 증명하라.

계산·논증

검사 결과가 모두 같아도 증명일까?

한 학생이 \(h(x)=x^2\)에 대해 \(h(0)=0\), \(h(1)=h(1)\), \(h(-1)=h(-1)\)을 확인하고 “여러 입력을 검사했으므로 선형이다”라고 했다. ① 이 계산이 두 보존 조건을 검사한 것인지 설명하라. ② 덧셈 보존과 실수배 보존이 각각 실패하는 구체적인 입력을 제시하라.