정의와 표기
기준점과 선형 근사
기준점 \(a\)에서 입력이 \(h\)만큼 변하면 실제 출력 변화는 \(f(a+h)-f(a)\)입니다. 이 변화를 \(mh\)로 근사하고 남는 차이를 오차 \(r(h)\)라 씁니다.
\(h\to0\)일 때 \(r(h)/h\to0\)이면 \(m\)을 \(a\)에서의 미분계수 \(f'(a)\)라 합니다. 이때 \(L(a+h)=f(a)+mh\)를 \(a\) 근처의 선형 근사식이라 부릅니다. 변화량 함수 \(h\mapsto mh\)는 정확한 선형변환입니다.
그래프의 점 \((a,f(a))\)를 지나고 기울기가 \(f'(a)\)인 직선을 그 점에서의 접선이라 합니다. 위 근사식은 이 접선의 방정식입니다.
설명과 계산
제곱함수의 근사식과 오차
\(f(x)=x^2\), \(a=2\)로 두고 식을 전개합니다.
\(m=4\), \(r(h)=h^2\)로 잡으면 \(r(h)/h=h\to0\)입니다. 따라서 \(f'(2)=4\), 근사식은 \(L(2+h)=4+4h\)입니다.
설명과 계산
선형변환과 접선 근사식의 구분
\(L(0)=-4\)이므로 \(x\mapsto L(x)\)는 1차시의 정의에 따른 선형변환이 아닙니다. 여기서 선형인 것은 변화량 \(h\mapsto4h\)입니다.
근사식에는 기준점과 허용 오차가 필요합니다. \(h\)가 절반이 되면 이 예의 오차 \(h^2\)는 4분의 1이 됩니다.
계산·논증
허용 오차로 정하는 사용 범위
\(x^2\)를 \(x=2\) 근처에서 \(L(x)=4x-4\)로 계산한다. ① 절대오차가 \(0.01\) 이하인 \(x\)의 범위를 구하라. ② \(x=2.2\)에도 이 근사를 써도 된다는 주장에 답하라. ③ 실제 변화량 \(f(2+h)-f(2)\)에 비해 오차가 작아지는 이유를 \(h>0\)에서 설명하라.
풀이와 판단 근거
\(x=2.2\)의 오차는 \(0.04\)이므로 정한 허용범위를 넘는다. \(h>0\)에서 실제 변화량 대비 오차의 비율은 \(h^2/(4h+h^2)=h/(4+h)\)이고 \(h\to0\)이면 0으로 간다.
정의와 표기
라디안과 작은 각 근사
반지름 \(r\)인 원에서 호의 길이가 \(s\)일 때 중심각의 라디안 값은 \(\theta=s/r\)입니다. 따라서 \(180^\circ=\pi\) rad입니다.
라디안에서는 \(\lim_{\theta\to0}\sin\theta/\theta=1\)이 성립합니다. 즉 \(\sin\theta=\theta+r(\theta)\)이고 \(r(\theta)/\theta\to0\)이므로 0 근처의 선형 근사식은 \(\sin\theta\approx\theta\)입니다. 이 극한의 증명은 미적분에서 다룹니다.
조작
작은 각 근사의 오차 비교
슬라이더는 키보드 방향키로도 움직일 수 있습니다.
계산·논증
각도 단위와 오차의 기준
\(\sin10^\circ\approx0.17365\), \(\sin30^\circ=0.5\)이다. ① 라디안으로 바꾸어 \(\sin\theta\approx\theta\)의 절대오차를 구하라. ② 이 활동에서는 \(|\theta-\sin\theta|/|\theta|\)를 비교 비율로 쓴다. 두 각에서 비율을 구하고 “1% 이하”라는 기준을 만족하는지 판단하라.
풀이와 판단 근거
\(10^\circ\)는 약 \(0.17453\)rad이므로 절대오차는 약 \(0.00088\), 비율은 약 \(0.0050=0.50\%\)이다. \(30^\circ\)는 약 \(0.52360\)rad이므로 절대오차는 약 \(0.02360\), 비율은 약 \(4.51\%\)이다. 따라서 두 값 중 \(10^\circ\)만 기준을 만족한다. 도 단위의 수 10이나 30을 그대로 근삿값으로 쓰면 안 된다.
설명과 계산
근사식에 함께 적어야 할 조건
근사값만 쓰지 않고 기준점, 입력 단위, 오차의 기준을 함께 기록합니다.
원래 함수의 선형성은 모든 입력에 대한 정확한 등식의 문제입니다. 선형 근사는 한 기준점 주변에서 허용한 오차 안에 들어오는지의 문제입니다.