\(\theta\approx0\)
\(\sin\theta\)와 \(\theta\)의 차이가 매우 작다.
질문
언제 \(\sin\theta\)를 \(\theta\)로 근사할 수 있을까?
\(0\)에 가까운 라디안 각에서 두 값을 비교한다.
\[\sin\theta\approx\theta\]\(\theta\)는 라디안이고 0에 가깝다.
예상
\(\sin\theta\approx\theta\)가 성립하는 범위는 어디일까?
\(\theta\)의 범위를 예상해 보자.
조작
각도를 키우며 두 모형을 비교해 보자
슬라이더는 키보드 방향키로도 움직인다.
발견
\(|\theta|\)가 커질수록 근사 오차가 증가한다
\(|\theta|\) 증가
선형 모형의 오차가 함께 커진다.
국소 선형화는 기준점 근처에서만 유효한 근사이다.
개념
선형변환과 국소 선형화
\[T(au+bv)=aT(u)+bT(v)\]선형변환에서는 모든 입력에 대해 정확히 성립한다.
\[f(a+h)=f(a)+f'(a)h+r(h)\]한 변수에서 \(r(h)/|h|\to0\)이다.
\[F(a+h)=F(a)+DF(a)h+R(h)\]여러 변수로 확장하면 \(\|R(h)\|/\|h\|\to0\)이다.
적용
진자 방정식의 작은 각 근사
\[\theta''=-\frac{g}{L}\sin\theta\]\(\theta(t)\): 수직선 기준 각변위, \(\theta''=d^2\theta/dt^2\)
≈
\[\theta''=-\frac{g}{L}\theta\]\(|\theta|\ll1\) 라디안에서 사용한다.
작은 진폭에서는 주기 \(2\pi\sqrt{L/g}\)를 예측한다.
확인
\(\sin\theta\approx\theta\)가 성립하는 조건은 무엇일까?
마무리
근사식에는 적용 범위가 필요하다
선형변환의 등식은 모든 입력에서 성립하고, 국소 선형화는 기준점 근처에서만 유효하다.
근사식에는 기준점과 오차 범위를 함께 표시한다.