덧셈
같은 위치의 성분끼리 더한다.
질문
소리와 이미지도 벡터일까?
화살표가 없어도 벡터가 될 수 있다.
화살표 \((x,y)\)다항식 \(p(x)\)소리 \(s(t)\)이미지 \(A\)
예상
서로 다른 대상이 벡터가 되는 공통 조건은 무엇일까?
각 대상에 정의된 덧셈과 스칼라배를 확인한다.
조작
각 대상에서 \(\alpha u+v\)를 계산해 보자
발견
벡터공간 여부는 연산과 공리로 판정한다
스칼라배
모든 성분에 같은 스칼라를 곱한다.
두 연산의 결과가 같은 집합에 속해야 한다.
개념
서로 다른 네 공간
\(\mathbb R^2\)
\(P_2\)
\(\mathbb R^n\)
\(\mathbb R^{m\times n}\)
각 공간에서 덧셈과 스칼라배를 성분별로 정의한다.
적용
소리와 이미지의 성분별 연산
\(s+n-n=s\)
반대 파형으로 잡음을 줄인다.
+
\(\alpha A+(1-\alpha)B\)
대응하는 픽셀값을 가중합한다.
두 응용 모두 성분별 선형결합을 사용한다.
확인
픽셀값을 0부터 255로 제한한 집합은 왜 벡터공간이 아닐까?
마무리
대상의 형태보다 연산과 공리를 확인한다
대상이 달라도 덧셈과 스칼라배가 같은 공리를 만족하면 벡터공간으로 다룰 수 있다.
다음에는 그 규칙이 지켜야 할 공리를 점검한다.