화살표 표현
\(u=(1,\ 2)\) · \(v=(2,\ -1)\)성분 2개짜리 순서쌍
정의와 표기
다항식과 실수 배열의 연산
\(P_2(\mathbb R)=\{a+bt+ct^2:a,b,c\in\mathbb R\}\)는 2차 이하 실수계수 다항식 전체입니다. 영다항식도 포함합니다. 합과 실수배는 다음과 같이 정의합니다.
\[(p+q)(t)=p(t)+q(t),\qquad(\alpha p)(t)=\alpha p(t)\]
길이 \(n\)의 실수 목록은 \(\mathbb R^n\), \(m\)행 \(n\)열의 실수 배열은 \(\mathbb R^{m\times n}\)으로 씁니다. 배열의 합과 실수배는 같은 위치의 성분마다 계산합니다.
정의와 표기
닫힘과 벡터공간이라는 용어
집합 \(V\)의 원소끼리 더한 결과가 항상 \(V\)에 있으면 덧셈에 닫혀 있다고 합니다. 모든 실수배의 결과가 항상 \(V\)에 있으면 실수배에 닫혀 있다고 합니다.
\[u,v\in V\Rightarrow u+v\in V,\qquad\alpha\in\mathbb R,\ u\in V\Rightarrow\alpha u\in V\]
벡터공간은 이러한 연산이 정해져 있고 결합·교환·분배법칙 등 벡터공간 공리를 만족하는 집합입니다. 그 원소를 벡터라 합니다. 이번 차시는 연산과 닫힘을 계산하고 다음 차시는 공리를 빠짐없이 정리합니다.
03차시 · 유도와 계산
다항식 계산과 계수 계산의 대응
항을 \((1,t,t^2)\) 순서로 나열하면 빠진 항의 계수를 0으로 적습니다.
\[2(1+2t)+(2-t+t^2)=4+3t+t^2\ \longleftrightarrow\ 2(1,2,0)+(2,-1,1)=(4,3,1)\]
항을 나열한 순서를 바꾸면 계수의 순서도 바뀝니다. 다항식의 계수에는 음수와 0도 허용합니다.
소개
계산할 다항식·표본열·배열
이번 차시 내내 이 \(u\)와 \(v\)로 \(\alpha u+v\)를 계산합니다.
다항식 표현
\(u=1+2x\) · \(v=2-x+x^2\)계수 \((1,2,0)\)과 \((2,-1,1)\)이 성분
소리 표현
\(u\) = 진동하는 파형 · \(v\) = 가운데가 볼록한 파형같은 시각에 잰 진폭 17개가 성분
이미지 표현
\(D_1\) = 나비넥타이를 밝게 · \(D_2\) = 매듭을 어둡게16×16 = 256개의 밝기 변화량이 성분
조작
화살표 세계에서 \(\alpha u+v\)를 계산해 봅시다
\[u=(1,2),\quad v=(2,-1)\]\(\alpha u+v=(\alpha+2,\ 2\alpha-1)\)
\(u\)\(\alpha u\)\(v\) · \(\alpha u\) 끝에 이어붙임\(\alpha u+v\)
조작
다항식과 소리에서도 같은 계산을 해 봅시다
\(u\)\(v\)\(\alpha u+v\)
조작
256개 성분의 이미지에서도 같은 계산을 해 봅시다
\(D_1\)은 나비넥타이 영역을 밝게, \(D_2\)는 매듭 영역을 어둡게 하는 밝기 변화량입니다.
양수 · 밝아지는 변화
음수 · 어두워지는 변화
0 · 변화 없음
적용
계산에 쓰는 실수값과 저장 범위
\(s+n-n=s\)
같은 시각의 실수 진폭끼리 더해 잡음의 반대 파형을 계산한다.
재생 단계 · 범위 조정과 양자화\(\alpha A+(1-\alpha)B\)
실수값 배열에서 대응하는 위치끼리 선형결합한다.
표시 단계 · 정규화 또는 잘라내기저장된 정수값의 범위와 계산에 쓰는 실수 벡터공간을 구분해야 합니다.
확인
8비트 회색조 이미지는 그대로 벡터공간일까?
16×16 이미지의 256개 밝기값을 좌표로 놓고 성분별 연산을 해 봅시다.
겹친 픽셀 · 210+90=300 > 255
같은 픽셀 · (−1)·210=−210 < 0
8비트 밝기
255 초과
음수인 계산값
\(\{0,\ldots,255\}^{16\times16}\)
덧셈·음의 실수배에서 허용 범위를 벗어난다.
\(A+B\notin\{0,\ldots,255\}^{16\times16}\)\(-A\notin\{0,\ldots,255\}^{16\times16}\)
\(\mathbb R^{16\times16}\)
모든 실수값을 허용하면 합과 실수배가 다시 같은 공간에 남는다.
파란 격자는 음수 성분을 보여 주는 계산용 색상 지도입니다. 화면 표시에는 별도의 범위 변환이 필요하며, 0~255 잘라내기는 선형이 아닙니다.
계산·논증
다항식과 계수 목록의 일치
\(p(t)=1+2t\), \(q(t)=2-t+t^2\)이다. ① \(2p-q\)를 다항식과 \((1,t,t^2)\) 순서의 계수 목록으로 각각 구하라. ② 순서를 \((t^2,1,t)\)로 바꾸면 같은 다항식의 목록은 무엇인가? ③ 계수 목록을 더할 때 항의 순서를 통일해야 하는 이유를 설명하라.
풀이와 판단 근거
\[2p-q=2+4t-(2-t+t^2)=5t-t^2\]
첫 순서의 계수 목록은 \((0,5,-1)\), 둘째 순서의 목록은 \((-1,0,5)\)이다. 성분별 덧셈이 같은 차수의 항끼리 더하는 계산과 대응하려면 양쪽 목록의 항 순서가 같아야 한다.
계산·논증
값을 잘라내면 덧셈도 보존될까?
실수값 \(z\)를 \(0\) 미만이면 0, \(255\) 초과이면 255로 바꾸고 그 사이는 그대로 두는 함수 \(C(z)=\min(255,\max(0,z))\)를 생각하자. ① \(C(200+100)\)과 \(C(200)+C(100)\)을 비교하라. ② \(C\)가 선형변환인지 판단하라. ③ 두 이미지를 섞을 때 계산과 저장을 나누는 이유를 설명하라.
풀이와 판단 근거
\(C(300)=255\)지만 \(C(200)+C(100)=300\)이다. 덧셈을 보존하지 않으므로 비선형이다. 실수 배열에서 합을 계산한 뒤 표시 범위로 바꾸면 계산값 300과 저장값 255를 구분할 수 있다. 매 연산 뒤에 잘라내면 값의 손실이 이후 계산에도 영향을 준다.
마무리
대상의 형태보다 연산과 공리
벡터 · 정해진 덧셈과 실수배로 계산하는 대상 하나
벡터공간 · 덧셈·실수배가 정의되고 벡터공간 공리를 만족하는 집합
표시 형식 · 값의 범위 제한과 잘라내기는 벡터공간 연산과 구분
다음 차시: 덧셈과 스칼라배가 지켜야 할 벡터공간 공리