두 벡터를 더한다
\(u,v\in V\Rightarrow u+v\in V\)
연산 결과가 다시 \(V\)에 속해야 한다.
정의와 표기
벡터공간을 정의하는 자료
이 수업에서는 스칼라를 실수로 고정합니다. 비어 있지 않은 집합 \(V\)와 두 연산, 덧셈 \(V\times V\to V\), 실수배 \(\mathbb R\times V\to V\)를 함께 정합니다.
닫힘은 연산의 결과가 다시 그 집합에 남는다는 뜻입니다. 공리는 이 연산이 만족해야 하는 기본 법칙입니다. 다음 두 화면의 여덟 공리를 모두 만족할 때 실수 벡터공간이라 합니다.
스칼라 0과 영벡터 \(0_V\)는 구분합니다. 영벡터는 모든 \(u\in V\)에 대해 \(u+0_V=u\)가 되는 \(V\)의 원소입니다.
정의
벡터공간의 정의: 닫힘과 여덟 공리
실수를 스칼라로 쓰는 집합 \(V\)에 덧셈과 스칼라배가 주어졌다고 합시다.
스칼라로 벡터를 곱한다
\(a\in\mathbb R,\ u\in V\Rightarrow au\in V\)
모든 스칼라에 대해 결과가 \(V\)에 남아야 한다.
공리 1–4
벡터 덧셈의 네 공리
아래 식은 모든 \(u,v,w\in V\)에 대해 성립해야 합니다.
결합법칙
\((u+v)+w=u+(v+w)\)
벡터의 순서는 그대로 두고 괄호 위치를 바꾸어도 같다.
영벡터의 존재
\(\exists O\in V:\ u+O=u\)
더해도 벡터를 바꾸지 않는 원소가 존재한다.
덧셈 역원의 존재
\(\exists(-u)\in V:\ u+(-u)=O\)
모든 벡터를 영벡터로 되돌리는 반대 벡터가 존재한다.
교환법칙
\(u+v=v+u\)
두 벡터를 더하는 앞뒤 순서와 무관하다.
공리 5–8
스칼라배의 네 공리
모든 \(u,v\in V\)와 \(a,b\in\mathbb R\)에 대해 성립해야 합니다.
벡터 덧셈에 대한 분배
\(a(u+v)=au+av\)
스칼라 하나가 벡터의 합 전체에 분배된다.
스칼라 덧셈에 대한 분배
\((a+b)u=au+bu\)
스칼라의 합이 각각의 스칼라배로 나뉜다.
스칼라곱의 결합법칙
\((ab)u=a(bu)\)
스칼라를 먼저 곱해도 차례로 작용시켜도 같다.
스칼라 항등원
\(1u=u\)
실수의 곱셈 항등원 \(1\)은 벡터를 바꾸지 않는다.
설명과 계산
0배가 영벡터가 되는 이유
분배법칙에 \(0+0=0\)을 대입합니다. 여기서 \(0v\)도 \(V\)의 원소이므로 덧셈 역원 \(-(0v)\)가 있습니다.
\[0v=(0+0)v=0v+0v\]
\[0v+(-(0v))=(0v+0v)+(-(0v))\]
왼쪽은 \(0_V\), 오른쪽은 결합법칙에 의해 \(0v+(0v-(0v))=0v\)입니다. 따라서 \(0v=0_V\)입니다. 상식처럼 보이는 계산도 공리에서 얻을 수 있습니다.
조작
집합과 스칼라에 따른 닫힘 실험
계산·논증
닫힘 하나가 충분한가?
\(Q=\{(x,y):x\ge0,y\ge0\}\)와 \(U=\{(x,y):xy=0\}\)에 보통의 덧셈과 실수배를 사용한다. ① \(Q\)가 덧셈에 닫히는지 일반적인 두 원소로 확인하고 실수배의 반례를 찾아라. ② \(U\)가 실수배에 닫힘을 보이고 덧셈의 반례를 찾아라. ③ 두 집합이 벡터공간인지 판단하라.
풀이와 판단 근거
\(Q\)의 원소 \((a,b),(c,d)\)는 네 좌표가 모두 음수가 아니므로 합 \((a+c,b+d)\)도 \(Q\)에 있다. 그러나 \(-(1,1)=(-1,-1)\notin Q\)이다. \(U\)에서는 \(xy=0\)이면 \((\alpha x)(\alpha y)=\alpha^2xy=0\)이므로 실수배에 닫힌다. 하지만 \((1,0),(0,1)\in U\)의 합 \((1,1)\)은 \(U\)에 없다. 둘 다 벡터공간이 아니다.
정의와 표기
부분공간과 판정 조건
벡터공간 \(V\)의 부분집합 \(W\)가 \(V\)와 같은 연산으로 벡터공간이 되면 \(W\)를 \(V\)의 부분공간이라 합니다. 다음을 확인하면 충분합니다.
① \(0_V\in W\), ② \(u,v\in W\Rightarrow u+v\in W\), ③ \(a\in\mathbb R,u\in W\Rightarrow au\in W\).
결합·교환·분배 등의 등식은 \(V\)에서 성립하므로 \(W\)에서도 성립합니다. 영벡터는 ①로 확보하고 덧셈 역원 \(-u=(-1)u\)가 \(W\)에 있다는 사실은 ③으로 확보합니다. 존재 조건까지 저절로 상속되는 것은 아닙니다.
계산·논증
같은 집합에 다른 연산을 주면
\(\mathbb R^2\)에 보통의 덧셈을 쓰되 실수배를 \(c\odot(x,y)=(cx,y)\)로 정했다. ① 이 실수배는 닫힘과 \(1\odot u=u\)를 만족하는가? ② \(u=(0,1)\), \(a=b=1\)로 \((a+b)\odot u=a\odot u+b\odot u\)를 검사하라. ③ 벡터공간인지 판단하라.
풀이와 판단 근거
결과 \((cx,y)\)는 항상 \(\mathbb R^2\)에 있고 \(1\odot(x,y)=(x,y)\)이다. 그러나 \(2\odot(0,1)=(0,1)\)인 반면 \(1\odot(0,1)+1\odot(0,1)=(0,2)\)이다. 스칼라 덧셈에 대한 분배법칙이 깨지므로 이 연산으로는 벡터공간이 아니다. 집합의 이름만으로 판정할 수 없다.
마무리
벡터공간 판정과 반례
정의 · 덧셈과 스칼라배에 닫혀 있고 VS1–VS8이 모두 성립
덧셈 · 결합법칙 · 영벡터 · 덧셈 역원 · 교환법칙
스칼라배 · 두 분배법칙 · 스칼라곱의 결합법칙 · 항등원
판정 · 증명은 전부 확인하고, 실패는 반례 하나로 충분함
다음 차시: 생성집합과 부분공간 판정