주장
모든 \(u,c\)에서 \(cu\in V\)이다.
질문
집합 \(Q\)는 벡터공간일까?
덧셈과 스칼라배에 대한 닫힘을 확인한다.
\[Q=\{(x,y)\in\mathbb R^2:x\ge0,\ y\ge0\}\]
예상
\(Q\)는 보통 연산으로 벡터공간일까?
음의 실수배에 닫혀 있는지 확인한다.
조작
집합과 스칼라를 바꾸어 반례를 찾아보자
발견
공리 하나가 실패하면 벡터공간이 아니다
↯
반례
어떤 \(u,c\)에서 \(cu\notin V\)이다.
→
판정
벡터공간이 아니다.
개념
부분공간 판정: 상속과 확인
벡터공간 \(V\)의 부분집합 \(W\)에 같은 연산을 사용한다고 하자.
연산 법칙
덧셈의 교환법칙과 결합법칙
스칼라배의 결합법칙과 항등법칙
두 분배법칙
비공집합과 닫힘
\(W\ne\varnothing\)
\(u,v\in W\Rightarrow u+v\in W\)
\(c\in\mathbb F,\ u\in W\Rightarrow cu\in W\)
적용
“정확히 2차”와 “2차 이하”는 다르다
\(\deg p=2\)
\(0\cdot p=0\)이 집합에 없다.
\(P_2=\{a+bx+cx^2\}\)
\(a,b,c\in\mathbb R\)이면 벡터공간이다.
영벡터의 포함 여부와 연산의 닫힘으로 판정한다.
확인
\(W=\{(x,y):y=2x+1\}\)은 왜 벡터공간이 아닐까?
마무리
벡터공간은 모든 공리를 만족한다
벡터공간임은 모든 공리로 증명하고, 벡터공간이 아님은 공리 하나의 반례로 증명한다.
다음에는 생성집합과 부분공간 판정을 다룬다.