\(v\ne cu\quad(c\in\mathbb R)\)
두 벡터가 \(\mathbb R^2\) 전체를 생성한다.
질문
\(a,b\)를 바꾸면 \(au+bv\)는 어떤 점을 나타낼까?
모든 실수 계수의 선형결합을 확인한다.
\[au+bv\]\(a,b\in\mathbb R\)
예상
어떤 계수의 선형결합을 모두 고려해야 할까?
계수의 범위는 \(\mathbb R\) 전체이다.
조작
계수를 바꾸어 \(au+bv\)의 범위를 확인해 보자
발견
두 벡터가 스칼라배 관계가 아니면 \(\mathbb R^2\)을 생성한다
\(v=2u\)
생성공간은 원점을 지나는 한 직선이다.
스칼라배 관계이면 직선, 아니면 평면을 생성한다.
개념
생성집합과 부분공간 판정
\[\operatorname{span}(S)=\left\{\sum c_i v_i\right\}\]\(v_i\in S\), \(c_i\in\mathbb F\)인 유한 선형결합을 모은다.
\[\alpha u+\beta v\in W\]\(W\ne\varnothing\)이고 모든 \(u,v\in W\), \(\alpha,\beta\in\mathbb F\)에서 확인한다.
\(\operatorname{span}(S)\)는 \(S\)를 포함하는 가장 작은 부분공간이다.
적용
동차 여부에 따른 해집합
\(x+2y-z=0\)
해집합은 \(\operatorname{span}\{(-2,1,0),(1,0,1)\}\)이다.
\(x+2y-z=1\)
영벡터가 없어 부분공간이 아니다.
동차 선형방정식의 해집합은 부분공간이다.
확인
\(\mathbb R^2\)의 부분공간은 어느 집합일까?
마무리
생성집합과 부분공간의 구분
생성공간은 모든 선형결합의 집합이고, 부분공간은 공집합이 아니며 선형결합에 닫힌 부분집합이다.
다음에는 생성 벡터의 일차독립을 판정한다.