정의와 표기

선형결합과 생성공간

벡터공간 \(V\)의 벡터 \(v_1,\ldots,v_k\)와 실수 \(c_1,\ldots,c_k\)에 대해 \(c_1v_1+\cdots+c_kv_k\)를 선형결합이라 합니다. 가능한 계수를 모두 허용한 결과의 집합을 생성공간이라 합니다.

\(\operatorname{span}(S)=W\)이면 \(S\)가 \(W\)를 생성한다고 합니다. 집합 \(S\), 그 원소 한 개, 선형결합의 결과 한 개, 결과 전체인 \(\operatorname{span}(S)\)를 구분합니다.

정의와 표기

부분공간 판정의 결합형

\(W\subseteq V\)가 부분공간이려면 \(W\)가 비어 있지 않고 다음 조건을 만족해야 하며 이 조건이면 충분합니다.

계수를 모두 0으로 두면 영벡터를, 모두 1로 두면 덧셈의 닫힘을 얻습니다. \(\beta=0\)으로 두면 실수배의 닫힘을 얻습니다. 공집합에서는 시작할 원소를 고를 수 없으므로 비어 있지 않다는 조건을 빼면 안 됩니다.

05차시 · 개념 준비

목표 벡터를 만드는 계수

\(u=(1,0),v=(1,1)\)로 \((3,2)\)를 만드는 계수를 찾습니다.

같은 u,v로 임의의 (x,y)를 만들려면 b=y, a=x−y로 두면 됩니다. 따라서 두 벡터가 평면 전체를 생성합니다.

설명과 계산

생성공간이 부분공간인 이유

\(p=au+bv,\ q=cu+dv\)가 \(\operatorname{span}\{u,v\}\)에 있다고 합시다.

결과 역시 \(u,v\)의 선형결합이며 \(0u+0v=0\)도 포함합니다. 따라서 생성공간은 부분공간입니다.

또 \(u,v\)를 포함하는 어떤 부분공간도 모든 \(au+bv\)를 포함합니다. 이 뜻에서 생성공간은 \(u,v\)를 포함하는 가장 작은 부분공간입니다.

설명과 계산

동차 선형방정식의 해집합

미지수의 1차식으로 이루어진 방정식의 우변이 0이면 동차 선형방정식이라 합니다. \(x+2y-z=0\)에서 \(y=s,z=t\)로 두면

따라서 해집합은 두 벡터의 생성공간이며 부분공간입니다. 우변을 1로 바꾸면 \((x,y,z)=(1,0,0)+s(-2,1,0)+t(1,0,1)\)이 됩니다. 이 집합에는 영벡터가 없습니다.

계산·논증

계수의 범위를 제한한 집합

\(u=(1,0),v=(0,1)\)이다. \(A=\{au+bv:a,b\ge0\}\), \(B=\{au+bv:a+b=1\}\), \(C=\{au+bv:a,b\in\mathbb R\}\) 중 부분공간인 것을 판정하라. 아닌 집합에는 구체적인 반례를, 맞는 집합에는 모든 선형결합에 대한 근거를 제시하라.

계산·논증

생성공간이 같은지 증명하기

\(u,v\)는 벡터공간의 벡터이다. \(\operatorname{span}\{u,v\}=\operatorname{span}\{u+v,u-v\}\)임을 양쪽 포함 관계로 증명하라. 두 목록의 벡터가 서로 달라도 같은 집합을 생성할 수 있는 이유를 설명하라.