정의와 표기

일차독립과 일차종속

벡터 목록 \(v_1,\ldots,v_k\)에 대해 영벡터를 만드는 계수가 모두 0인 경우뿐이면 일차독립이라 합니다.

반대로 0이 아닌 계수가 하나 이상인 관계가 있으면 일차종속이라 합니다. ‘각 벡터가 서로 다름’은 독립의 정의가 아닙니다. 영벡터를 포함한 목록은 \(1\cdot0=0\)이라는 관계 때문에 종속입니다.

06차시 · 개념 준비

영벡터를 만드는 계수로 독립 판정

\(u=(1,0),v=(1,1)\)에서 \(au+bv=0\)을 풀어 봅니다.

반대로 \(u=(1,2),v=(2,4)\)는 \(2u-v=0\)이라는 0이 아닌 계수 관계가 있어 종속입니다.

정의와 표기

기저·차원·좌표벡터

\(V\)를 생성하면서 일차독립인 벡터들의 집합을 \(V\)의 기저라 합니다. 한 유한차원 벡터공간의 모든 기저는 같은 수의 벡터를 갖습니다. 그 수를 차원 \(\dim V\)라 합니다.

좌표를 쓸 때에는 기저에 순서를 정해 \(B=(b_1,\ldots,b_n)\)으로 씁니다. \(v=c_1b_1+\cdots+c_nb_n\)의 계수 목록을 \(B\)에 대한 좌표 \([v]_B=(c_1,\ldots,c_n)\)라 합니다.

생성이 표현의 존재를 보장하고 일차독립이 표현의 유일성을 보장합니다. 다음 화면에서 유일성을 증명합니다.

06차시 · 유도와 계산

독립성이 좌표를 하나로 만드는 증명

u,v가 일차독립이고 같은 벡터에 두 표현 \(au+bv=cu+dv\)가 있다고 가정합니다.

생성 조건이 있어야 좌표를 구할 수 있고, 독립 조건이 있어야 그 좌표가 하나로 정해집니다. 따라서 앞서 정의한 좌표벡터는 한 벡터에 대해 하나로 정해집니다.

설명과 계산

각도 실험을 독립의 정의로 확인

\(u=(1,0)\), \(v=(\cos\theta,\sin\theta)\)에 대해 \(au+bv=0\)을 성분으로 씁니다.

\(\sin\theta\ne0\)이면 \(b=0,a=0\)이므로 일차독립입니다. \(0^\circ\)에서는 \(v=u\), \(180^\circ\)에서는 \(v=-u\)이므로 종속입니다. 이 정의에 의한 판정이 넓이 실험과 일치합니다.

계산·논증

서로 평행하지 않으면 항상 독립일까?

\(u=(1,0),v=(0,1),w=(1,1)\)이다. ① 어느 두 벡터도 서로의 실수배가 아님을 확인하라. ② 세 벡터가 일차독립인지 판정하라. ③ \((3,2)\)를 이 세 벡터의 선형결합으로 서로 다르게 두 번 표현하라.

계산·논증

새 다항식 기저의 검증

\(B=(1,1+t,t+t^2)\)가 \(P_2(\mathbb R)\)의 기저인지 생성과 독립을 각각 확인하라. 이어서 \(2+3t+t^2\)의 \(B\)좌표를 구하라.