넓이 \(\ne0\)
두 벡터가 \(\mathbb R^2\)을 생성한다.
질문
\(v=2u\)일 때 \(v\)를 제외해도 같은 집합을 생성할까?
한 벡터가 다른 벡터의 스칼라배인 경우이다.
\[\operatorname{span}\{u,v\}\overset{?}{=}\operatorname{span}\{u\}\]
예상
서로 다른 두 벡터가 같은 직선을 생성할 수 있을까?
한 벡터가 다른 벡터의 스칼라배인 경우를 확인한다.
조작
두 번째 벡터의 각도에 따른 넓이를 확인해 보자
\(u=(1,0)\), \(v=(\cos\theta,\sin\theta)\)이다.
발견
평행사변형 넓이가 0이면 한 직선만 생성한다
넓이 \(=0\)
두 벡터가 평행하여 한 직선만 생성한다.
넓이는 두 번째 벡터가 새로운 방향을 추가하는지 판정한다.
개념
세 개념의 연결
\(\sum_{i=1}^n c_i v_i=0\Rightarrow c_1=\cdots=c_n=0\)
+
\(\operatorname{span}\{v_1,\ldots,v_n\}=V\)
→
\(B=\{v_1,\ldots,v_n\}\)
\[\dim V=n\]\(v_i\in V\), \(c_i\in\mathbb F\)이고, 유한차원 \(V\)의 기저는 \(n\)개의 벡터를 가진다.
적용
다항식도 기저로 좌표를 가진다
\[B=\{1,x,x^2\}\]\(P_2\)의 기저이다.
→
\[2-3x+x^2\mapsto(2,-3,1)\]\(B\)에 대한 좌표이다.
\(P_2\)의 차원은 3이다.
확인
\(\mathbb R^3\)의 기저는 어느 집합일까?
마무리
기저는 일차독립인 생성집합이다
독립인 생성집합이 기저이고, 기저의 벡터 수가 차원이다.
기저 \(B\)를 정하면 각 벡터 \(v\)의 좌표 \([v]_B\)가 유일하게 정해진다.