정의와 조건

순서 있는 기저와 좌표

기저는 공간을 생성하면서 일차독립인 벡터들의 집합입니다. 좌표를 기록할 때에는 기저벡터의 순서를 정합니다.

\[B=(b_1,\ldots,b_n),\qquad v=c_1b_1+\cdots+c_nb_n\]

이때 계수 목록 \([v]_B=(c_1,\ldots,c_n)\)을 \(v\)의 \(B\)좌표라 합니다. 아래첨자 \(B\)는 어떤 기저를 사용했는지 표시합니다. 벡터는 공간의 원소이고, 좌표는 그 벡터를 표현하는 실수 목록입니다.

이유와 증명

좌표는 왜 하나로 정해지는가?

기저가 공간을 생성하므로 모든 벡터를 표현할 수 있습니다. 두 표현이 있다고 가정하고 빼 봅니다.

\[\sum_i c_i b_i=\sum_i d_i b_i\quad\Longrightarrow\quad\sum_i(c_i-d_i)b_i=0\]

기저벡터가 일차독립이므로 모든 \(i\)에 대해 \(c_i-d_i=0\)입니다. 따라서 두 계수 목록은 같습니다. 생성은 표현의 존재를, 독립은 표현의 유일성을 보장합니다.

예제

같은 벡터를 다른 기저로 표현하기

표준기저 \(E=((1,0),(0,1))\)에서 \(v=(3,2)\)입니다. \(B=((1,0),(1,1))\)좌표를 구하려면 계수 \(a,b\)를 찾습니다.

\[a(1,0)+b(1,1)=(3,2)\quad\Longleftrightarrow\quad a+b=3,\ b=2\]
\[[v]_E=(3,2),\qquad[v]_B=(1,2)\]

\(1(1,0)+2(1,1)=(3,2)\)로 검산합니다. 숫자 목록이 달라도 나타내는 벡터는 같습니다.

조작

둘째 기저벡터의 \(x\)성분을 바꾸어 봅시다

기저는 \(B_t=((1,0),(t,1))\)이고 \(v=(3,2)\)는 고정합니다.

1.0
[v]Bₜ = (1.0, 2.0) 1.0b₁+2.0b₂=(3,2)
기저를 바꾸어도 고정된 벡터 회색 좌표축 위에서 첫 기저벡터, 움직이는 둘째 기저벡터와 고정된 벡터 v를 비교합니다. b₁ b₂ v=(3,2)

설명

기저를 바꾸는 계산의 두 방향

\(B_t=((1,0),(t,1))\)에서 좌표 \((a,b)\)로 벡터를 만들 때와, 주어진 벡터에서 좌표를 찾을 때를 구분합니다.

\[a(1,0)+b(t,1)=(a+tb,b)\]
\[v=(x,y)\quad\Longrightarrow\quad[v]_{B_t}=(x-ty,y)\]

\(v=(3,2)\)이면 첫 좌표는 \(3-2t\)입니다. \(t\)가 바뀔 때 계수가 바뀌는 까닭은 같은 벡터를 새로운 두 방향의 조합으로 다시 나타내기 때문입니다.

이유와 증명

고정된 기저에서 좌표는 선형결합을 보존한다

\(B=(b_1,b_2)\)를 고정하고 \([u]_B=(a,b),[v]_B=(c,d)\)라 합시다.

\[\alpha u+\beta v=(\alpha a+\beta c)b_1+(\alpha b+\beta d)b_2\]
\[[\alpha u+\beta v]_B=\alpha[u]_B+\beta[v]_B\]

양쪽의 좌표는 모두 같은 기저 \(B\)로 기록해야 합니다. 서로 다른 기저에서 얻은 숫자를 그대로 더하는 것은 이 식의 사용 조건에 맞지 않습니다.

계산·논증

기저의 순서와 좌표의 순서

\(C=((2,1),(1,1))\), \(v=(5,3)\)이다. ① \([v]_C\)를 구하고 검산하라. ② 기저의 순서를 뒤집은 \(D=((1,1),(2,1))\)에서 좌표를 구하라. ③ 좌표 \((2,1)\)를 그대로 \(D\)좌표로 읽으면 어떤 벡터가 되는가?

풀이와 판단 근거
\[2a+b=5,\quad a+b=3\quad\Longrightarrow\quad a=2,\ b=1\]

\(2(2,1)+(1,1)=(5,3)\)이므로 \([v]_C=(2,1)\)이다. \(D\)에서는 순서에 맞춰 \([v]_D=(1,2)\)이다. \((2,1)\)을 그대로 쓰면 \(2(1,1)+(2,1)=(4,3)\)이라는 다른 벡터가 된다.

계산·논증

다항식에서도 좌표를 바꿀 수 있을까?

\(P_1(\mathbb R)\)에서 \(B=(1,t)\), \(C=(1+t,1-t)\)이다. ① 임의의 \(a+bt\)를 \(C\)의 선형결합으로 유일하게 표현하라. ② \(p=3+t\)의 좌표벡터를 구하라. ③ \([p]_C\)를 \(B\)좌표로 잘못 읽으면 어떤 다항식이 되는가?

풀이와 판단 근거
\[r(1+t)+s(1-t)=(r+s)+(r-s)t\]

\(r+s=a,r-s=b\)에서 \(r=(a+b)/2,s=(a-b)/2\)로 유일하게 정해지므로 \(C\)는 기저이다. \([p]_B=(3,1),[p]_C=(2,1)\)이다. \((2,1)\)을 \(B\)좌표로 읽으면 \(2+t\)가 되어 원래 다항식과 다르다.

계산·논증

기저가 되지 못하면 좌표 계산은 어떻게 되는가?

\(C_t=((1,0),(t,1-t))\)이다. ① \(t\)가 어떤 값일 때 기저인가? ② \(t=1\)일 때 \((3,2)\)와 \((3,0)\)를 이 두 벡터의 선형결합으로 표현하는 방법은 각각 몇 개인가?

풀이와 판단 근거
\[a+tb=x,\qquad(1-t)b=y\]

\(t\ne1\)이면 \(b=y/(1-t),a=x-tb\)로 모든 벡터를 유일하게 표현하므로 기저이다. \(t=1\)이면 두 벡터가 모두 \((1,0)\)이다. \((3,2)\)는 표현할 수 없고 \((3,0)\)은 \(a+b=3\)을 만족하는 무한히 많은 방법으로 표현된다. 기저 조건이 없으면 존재와 유일성을 보장할 수 없다.