\([v]_E=(3,2)\)
질문
같은 벡터의 좌표가 기저에 따라 달라질 수 있을까?
서로 다른 두 좌표가 같은 벡터를 나타내는지 확인해 보자.
\([v]_B=(1,2)\)
예상
기저만 바꾸면 무엇이 달라질까?
기저변환 전후의 벡터와 좌표를 구분한다.
조작
둘째 기저벡터의 \(x\)성분을 바꾸어 보자
기저는 \(B_t=((1,0),(t,1))\)이고 \(v=(3,2)\)는 고정한다.
발견
벡터는 고정되고 좌표만 변한다
기저벡터가 바뀌어도 \(v\)의 시작점과 끝점은 그대로이다.
\((3-2t)(1,0)+2(t,1)=(3,2)\)가 늘 성립한다.
개념
기저행렬과 좌표 변환
\(P_B\)의 열에는 기저벡터를 표준좌표로 적는다.
\[[v]_E=P_B[v]_B\]
\(P_B=[b_1\ \cdots\ b_n]\), \([v]_B=P_B^{-1}[v]_E\)
조건
\(B\)가 기저이면 \(P_B\)는 가역이다.
결론
\(P_B\)와 그 역행렬로 기저좌표와 표준좌표를 변환한다.
적용
새 기저에서 좌표 찾기
\(C=((2,1),(1,1))\)이고 \(v=(5,3)\)이라고 하자.
계수 찾기
\(a(2,1)+b(1,1)=(5,3)\)을 풀어 보자.
\(a=2, b=1\)이므로 \([v]_C=(2,1)\)이다.
확인
좌표 변환식 선택
\(P_B\)의 열은 \(B\)의 벡터를 표준좌표로 적은 값이다.
마무리
벡터와 좌표의 구분
기저가 바뀌면 좌표는 달라져도 벡터 자체는 그대로이다.
출구 질문
기저변환에서 변하지 않는 대상은 무엇일까?
기저와 차원