내적의 조건
대칭성, 선형성, 양의 정부호성이 필요하다.
질문
직선 위에서 \(u\)와 가장 가까운 점은 어디일까?
후보점은 \(tv\)이고 오차는 \(u-tv\)이다.
\[u=(3,2),\qquad v=(2,1),\qquad t\in\mathbb R\]
예상
거리를 최소화하는 \(t\)를 고르자
좌표평면에서 후보점과 \(u\) 사이의 거리를 예상한다.
조작
거리와 내적의 변화
좌표 내적 \((a,b)\cdot(c,d)=ac+bd\)를 사용한다.
\[\begin{gathered}\lVert u-tv\rVert\\(u-tv)\cdot v\end{gathered}\]
발견
거리가 최소일 때 오차는 \(v\)와 직교한다
\(t=1.6\)에서 거리가 최소이고 \(\langle u-tv,v\rangle=0\)이다.
\(u-\operatorname{proj}_v u\)는 \(v\)와 직교한다.
개념
정사영과 직교 성분
\(v\ne0\)일 때 \(u\)를 \(v\) 방향과 직교 방향으로 나눌 수 있다.
\[\operatorname{proj}_v u=\frac{\langle u,v\rangle}{\langle v,v\rangle}v\]
\(\langle\cdot,\cdot\rangle\): 내적, \(u-\operatorname{proj}_v u\perp v\)
그람-슈미트
\(w_2=u_2-\operatorname{proj}_{u_1}u_2\)로 직교 성분을 남긴다.
적용
그람-슈미트 과정으로 직교정규기저를 계산해 보자
\(u_1=(1,1)\), \(u_2=(1,0)\)은 서로 독립이다.
첫 단계
\(w_2=u_2-\operatorname{proj}_{u_1}u_2\)를 계산해 보자.
\(w_2=(1/2,-1/2)\)이므로 \(e_2=(1/\sqrt2,-1/\sqrt2)\)이다.
확인
그람-슈미트 결과의 직교 조건
\(w_2=u_2-\operatorname{proj}_{u_1}u_2\)이고 \(u_1\ne0\)이다.
마무리
내적으로 길이와 직교를 정의한다
정사영은 가장 가까운 점을 찾고 그람-슈미트는 직교정규기저를 만든다.
출구 질문
벡터공간 공리만으로 길이와 각도를 정의할 수 없는 이유는 무엇일까?
내적과 직교