정의와 조건

실수 벡터공간의 내적

내적은 두 벡터 \(u,v\)에 실수 \(\langle u,v\rangle\)를 대응시키며 다음 조건을 만족하는 연산입니다. 모든 벡터 \(u,v,w\)와 실수 \(c\)에서 성립해야 합니다.

\[\begin{aligned}\langle u,v\rangle&=\langle v,u\rangle\\\langle u+w,v\rangle&=\langle u,v\rangle+\langle w,v\rangle\\\langle cu,v\rangle&=c\langle u,v\rangle\end{aligned}\]

또한 \(\langle u,u\rangle\ge0\)이며, 등호는 \(u=0\)일 때만 성립합니다. 이를 양의 정부호 조건이라 합니다. 이 수업은 실수 내적만 다룹니다.

정의와 조건

표준내적·노름·거리·직교

\(\mathbb R^n\)의 표준내적은 같은 위치의 성분을 곱해 더합니다. 내적에서 다음과 같이 길이와 거리를 정의합니다.

\[u\cdot v=\sum_{i=1}^n u_iv_i,\quad\|u\|=\sqrt{\langle u,u\rangle},\quad d(u,v)=\|u-v\|\]

\(\|u\|\)를 내적이 정하는 노름이라 합니다. \(\langle u,v\rangle=0\)이면 두 벡터가 직교한다고 하고 \(u\perp v\)로 씁니다. 영벡터는 모든 벡터와 직교하지만 영벡터와의 각도는 정의하지 않습니다.

\[(1,2)\cdot(2,-1)=0,\qquad\|(1,2)\|=\sqrt5\]

이유와 증명

내적에서 각도를 정의할 수 있는 이유

\(v\ne0\)일 때 \(\|u-tv\|^2\ge0\)에 \(t=\langle u,v\rangle/\|v\|^2\)를 대입하면 다음 부등식을 얻습니다.

\[0\le\|u\|^2-\frac{\langle u,v\rangle^2}{\|v\|^2}\quad\Longrightarrow\quad |\langle u,v\rangle|\le\|u\|\|v\|\]

이것이 코시–슈바르츠 부등식입니다. 두 벡터가 모두 0이 아니면 비율이 −1과 1 사이이므로 \(0\le\theta\le\pi\)인 각을 다음 식으로 정의할 수 있습니다.

\[\cos\theta=\frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\|v\|}\]

표준내적에서는 평면기하의 각도와 같습니다. 내적이 양수·0·음수이면 각각 예각·직각·둔각입니다.

정의와 조건

정사영은 가장 가까운 벡터

\(v\ne0\)가 만드는 직선 \(W=\operatorname{span}\{v\}\) 위에서 \(u\)와의 거리를 최소로 하는 벡터를 \(u\)의 \(W\) 위 정사영이라 합니다.

\[p=\operatorname{proj}_v u\in W,\qquad\|u-p\|\le\|u-tv\|\quad(\text{모든 }t\in\mathbb R)\]

\(r=u-p\)를 잔차 또는 오차벡터라 부릅니다. 먼저 정사영을 “가장 가까운 벡터”로 정의하고, 다음 화면에서 그 계수와 유일성을 증명합니다.

이유와 증명

직교 조건이 최단거리를 보장하는 이유

\(p=t_*v\)이고 \(u-p\)가 \(v\)와 직교하도록 계수를 정합니다.

\[\langle u-t_*v,v\rangle=0\quad\Longrightarrow\quad t_*=\frac{\langle u,v\rangle}{\langle v,v\rangle}\]

\(r=u-t_*v\)라 두면 임의의 \(t\)에 대해 교차항이 0이 됩니다.

\[\|u-tv\|^2=\|r+(t_*-t)v\|^2=\|r\|^2+(t-t_*)^2\|v\|^2\]

둘째 항은 음수가 아니며 \(v\ne0\)이므로 \(t=t_*\)일 때만 0입니다. 따라서 위 계수가 유일한 최소점을 줍니다.

예제

정사영의 수치 계산

\(u=(3,2),v=(2,1)\)에 표준내적을 씁니다.

\[t_*=\frac{3\cdot2+2\cdot1}{2^2+1^2}=\frac85,\quad p=\left(\frac{16}5,\frac85\right)\]
\[r=u-p=\left(-\frac15,\frac25\right),\quad r\cdot v=0,\quad\|r\|^2=\frac15\]

계수 \(8/5\), 정사영 벡터 \(p\), 최소 거리 \(1/\sqrt5\)는 서로 다른 대상입니다.

조작

\(t\)를 바꾸면 거리와 내적은 어떻게 달라질까?

\(u=(3,2),v=(2,1)\)을 고정합니다. 계산한 \(t_*=8/5\)의 양쪽에서 거리와 잔차의 내적을 비교합니다.

\[\begin{gathered}\lVert u-tv\rVert\\(u-tv)\cdot v\end{gathered}\]
1.0
거리 1.41 오차와 v의 내적 = 3.00
정사영 후보점 실험 벡터 v가 만드는 직선 위의 후보점 tv와 고정된 점 u 사이의 오차를 나타냅니다. u tv

정의와 조건

직교기저와 정규직교기저

기저벡터가 서로 직교하면 직교기저, 각각의 길이까지 1이면 정규직교기저라 합니다. 0이 아닌 벡터를 자신의 길이로 나누는 연산을 정규화라 합니다.

\[e_i=\frac{w_i}{\|w_i\|},\qquad\langle e_i,e_j\rangle=\begin{cases}1&i=j\\0&i\ne j\end{cases}\]

\(u=\sum_i c_i e_i\)의 양쪽을 \(e_j\)와 내적하면 \(c_j=\langle u,e_j\rangle\)입니다. 정규직교기저에서는 좌표를 내적으로 바로 구할 수 있습니다.

예제

그람–슈미트 과정: 성분을 빼고 정규화하기

일차독립인 벡터들을 같은 생성공간의 정규직교벡터들로 바꾸는 절차를 그람–슈미트 과정이라 합니다. \(u_1=(1,1),u_2=(1,0)\)에서 시작합니다.

\[e_1=\tfrac1{\sqrt2}(1,1),\qquad w_2=u_2-\langle u_2,e_1\rangle e_1=(\tfrac12,-\tfrac12)\]
\[e_2=\frac{w_2}{\|w_2\|}=\tfrac1{\sqrt2}(1,-1)\]

\(w_2\perp e_1\)이고 \(u_2=w_2+\langle u_2,e_1\rangle e_1\)입니다. 원래 벡터를 새 벡터로 다시 표현할 수 있으므로 생성공간은 바뀌지 않습니다.

계산·논증

내적을 바꾸면 정사영도 달라질까?

\(\mathbb R^2\)에서 \(\langle x,y\rangle_w=2x_1y_1+x_2y_2\)로 정한다. ① 이것이 내적인 이유를 네 조건으로 확인하라. ② \(u=(3,2)\)를 \(v=(2,1)\) 방향으로 정사영하라. ③ 표준내적의 정사영과 비교하고 새 잔차의 직교 조건을 검산하라.

풀이와 판단 근거

대칭성과 두 선형성은 실수의 분배법칙으로 성립한다. \(2x_1^2+x_2^2\ge0\)이며 등호는 두 성분이 모두 0일 때뿐이다. 따라서 내적이다.

\[t_w=\frac{2\cdot3\cdot2+2\cdot1}{2\cdot2^2+1^2}=\frac{14}9,\quad p_w=(\tfrac{28}9,\tfrac{14}9)\]

표준내적의 계수 \(8/5\)와 다르다. 새 잔차는 \((-1/9,4/9)\)이고 \(2(-1/9)2+(4/9)1=0\)이다. 내적을 바꾸면 같은 직선에서도 길이와 최단거리의 기준이 달라진다.

계산·논증

직교화가 0을 만들었을 때

\(u_1=(1,1),u_2=(2,2)\)에 그람–슈미트 과정을 적용했다. ① 둘째 잔차를 구하라. ② “0벡터를 길이로 나누어 두 번째 단위벡터를 얻는다”는 계산의 문제를 설명하라. ③ 원래 두 벡터의 생성공간에 대한 정규직교기저를 제시하라.

풀이와 판단 근거
\[w_2=u_2-\frac{u_2\cdot u_1}{u_1\cdot u_1}u_1=(2,2)-2(1,1)=0\]

\(\|w_2\|=0\)이므로 정규화는 0으로 나누는 계산이다. 두 입력은 종속이며 생성공간의 차원은 1이다. 따라서 둘째 벡터를 버리고 \(\{(1,1)/\sqrt2\}\)만 쓰면 정규직교기저가 된다.

이유와 증명

여러 벡터의 그람–슈미트 과정 · 선택 심화

\(u_1,\ldots,u_k\)가 일차독립일 때 앞에서 만든 정규직교 방향의 성분을 모두 뺍니다.

\[w_j=u_j-\sum_{i=1}^{j-1}\langle u_j,e_i\rangle e_i,\qquad e_j=\frac{w_j}{\|w_j\|}\]

각 \(e_\ell\)과 내적하면 합에서 \(i=\ell\)인 항만 남아 \(\langle w_j,e_\ell\rangle=0\)입니다. 만약 \(w_j=0\)이면 \(u_j\)가 앞선 벡터들의 생성공간에 들어가므로 독립이라는 가정에 모순입니다. 따라서 모든 단계에서 정규화할 수 있습니다.