질문
\(Ax=b\)를 세 관점에서 어떻게 해석할까?
같은 식을 방정식, 벡터의 조합, 입력과 출력의 대응으로 해석한다.
\[\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix}\]
예상
\(Ax=b\)의 해가 존재할 조건
\(A=[a_1\ \cdots\ a_n]\)일 때 \(b\)를 만드는 식을 고른다.
조작
\(Ax=b\)를 만족하는 \(x\) 찾기
\(A(x_1,x_2)=(x_1+x_2,x_1-x_2)\)이고 \(b=(4,2)\)이다.
발견
해 \(x=(3,1)\)의 세 가지 해석
같은 해를 행, 열, 변환의 관점에서 나타낸다.
\(b\)는 \(A\)의 열공간에 있고, \(x\)는 \(b\)의 원상이다.
개념
\(Ax=b\)의 세 가지 해석
\[A\in\mathbb R^{m\times n},\quad x\in\mathbb R^n,\quad b\in\mathbb R^m\]
\(Ax=b\iff b\in\operatorname{Col}(A)=\operatorname{im}(T_A)\)
\(r_i\cdot x=b_i\)
\(\sum_j x_ja_j=b\)
\(T_A(x)=b\)
적용
열공간을 이용한 해 존재성 판정
\(A=\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}\), \(b=(1,1)\)이라고 하자.
판정 조건
\(b\in\operatorname{Col}(A)\)인지 확인한다.
\(\operatorname{Col}(A)=\operatorname{span}\{(1,2)\}\)이므로 \(b\notin\operatorname{Col}(A)\)이다.
확인
열 관점의 정확한 설명
\(A=[a_1\ \cdots\ a_n]\)이라고 하자.
마무리
\(Ax=b\): 행 방정식, 열의 결합, 원상
해가 존재한다는 말은 \(b\)가 \(A\)의 상에 있다는 뜻이다.
출구 질문
\(x_1,x_2\)가 두 해이면 \(x_1-x_2\)는 어느 부분공간에 속할까?
행렬과 연립방정식