정의와 조건

행렬의 크기와 성분

행렬은 수를 직사각형으로 배열한 것입니다. 가로줄을 행, 세로줄을 열이라 합니다. 행이 \(m\)개, 열이 \(n\)개이면 \(m\times n\) 행렬이며, \(i\)행 \(j\)열의 성분을 \(a_{ij}\)로 씁니다.

이 예에서 \(a_{21}=-1\)입니다. 모든 성분이 0인 행렬은 영행렬, 행 수와 열 수가 같은 행렬은 정사각행렬이라 합니다.

정의와 조건

덧셈·실수배·전치

같은 크기의 두 행렬은 같은 위치의 성분끼리 더합니다. 실수배는 모든 성분에 같은 실수를 곱합니다. 전치는 행과 열을 바꾸는 연산입니다.

\(A\)가 \(m\times n\)이면 \(A^{\mathsf T}\)는 \(n\times m\)입니다. 전치는 성분의 역수를 취하는 연산이 아닙니다.

정의와 조건

행렬과 벡터의 곱

\(A\in\mathbb R^{m\times n}\), \(x\in\mathbb R^n\)의 곱 \(Ax\)는 \(m\)개의 성분을 갖는 열벡터로 정의합니다. 각 행과 입력 성분을 곱해 더합니다.

합을 구하는 성분 수가 같아야 하므로 \(A\)의 열 수와 \(x\)의 성분 수가 맞아야 합니다.

이유와 증명

행별 계산은 열벡터의 선형결합과 같다

\(A\)의 열벡터를 \(a_1,\ldots,a_n\)이라 합시다. 각 성분에서 분배법칙을 적용하면 같은 곱을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

행으로 읽으면 방정식의 왼쪽, 열로 읽으면 입력 성분을 계수로 하는 선형결합입니다. 새로운 계산법이 아니라 같은 식의 두 표현입니다.

예제

행렬방정식의 해

\(Ax=b\)를 만족하는 입력 벡터 \(x\)를 이 행렬방정식의 해라 합니다. \(A\)는 계수행렬, \(b\)는 주어진 우변 벡터입니다.

두 식을 더하면 \(x_1=3\), 첫 식에 대입하면 \(x_2=1\)입니다. \(3(1,1)+(1,-1)=(4,2)\)로 열 관점에서도 검산할 수 있습니다.

정의와 조건

열공간과 해가 존재할 조건

\(A\)의 열벡터들이 생성하는 부분공간을 열공간이라 하고 \(\operatorname{Col}(A)\)로 씁니다.

\(Ax=b\)의 해가 있다는 말은 어떤 계수로 \(b\)를 열들의 선형결합으로 만들 수 있다는 말입니다.

계산·논증

직사각행렬에서 행과 열을 구별하기

\(A=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}\), \(b=(2,3)\)이다. ① \(x\)는 몇 성분을 가져야 하는가? ② 모든 해를 매개변수로 나타내라. ③ “행벡터의 조합으로 \(b\)를 만든다”는 설명이 이 예에서 왜 맞지 않는가?

계산·논증

우변만 바꾸어 해의 존재와 개수 판단하기

\(A=\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}\)를 고정한다. ① \(b=(1,1)\)일 때 해가 없는 이유를 행과 열의 두 관점으로 설명하라. ② \(b=(1,2)\)일 때 모든 해를 구하라. ③ 두 해의 차를 \(A\)에 곱하면 무엇이 되는가?

정의와 조건

행렬끼리의 곱은 열마다 정의한다

\(A\)가 \(m\times n\), \(B=[b_1\ \cdots\ b_p]\)가 \(n\times p\)일 때 곱 \(AB\)를 다음과 같이 정의합니다.

결과의 크기는 \(m\times p\)입니다. 이 정의로 \((AB)x=A(Bx)\)가 성립합니다. \(Bx\)를 먼저 계산한 뒤 \(A\)를 곱한 결과와 같습니다. 일반적으로 성분끼리 곱하는 연산은 아닙니다.

계산·논증

행렬곱의 순서는 바꿀 수 있을까?

\(A=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\), \(B=\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}\)이다. ① \(AB\), \(BA\)를 구하라. ② \(x=(0,1)\)에 각각 곱해 순서의 차이를 설명하라. ③ 임의의 \(2\times3\) 행렬 \(C\)에 대해 \(AC\), \(CA\) 중 정의되는 곱을 판정하라.