정의와 표기

스칼라와 평면벡터

이 수업에서 스칼라는 실수입니다. 평면의 기하벡터는 이동량을 나타내며, 길이와 방향이 같은 화살표는 시작점이 달라도 같은 벡터로 봅니다. 길이가 0인 영벡터에는 방향을 정하지 않습니다.

좌표축과 단위를 정하면 벡터를 가로·세로 이동량의 순서쌍으로 기록합니다. 두 성분의 순서는 바꿀 수 없습니다.

0A차시 · 개념 준비

위치와 이동량의 구분

점 \(P=(1,2)\)에서 \(Q=(4,1)\)로 이동하면 이동량은 \(Q-P=(3,-1)\)입니다. 시작점을 바꾸어도 같은 이동량을 나타낼 수 있습니다.

점은 위치이고, 이 예에서 벡터는 두 위치 사이의 이동량입니다. 좌표를 정하면 둘 다 순서쌍으로 기록할 수 있습니다.

정의와 표기

덧셈·스칼라배·뺄셈

\(u=(u_1,u_2),v=(v_1,v_2)\), \(c\in\mathbb R\)에 대해 다음과 같이 정의합니다.

\(u+v\)는 두 이동을 이어 붙인 결과입니다. \(cu\)의 길이는 \(|c|\)배이며 \(c<0\)이면 방향이 반대입니다. \(au+bv\)처럼 실수배한 벡터의 합을 선형결합이라 합니다.

0A차시 · 유도와 계산

음의 배수와 성분 계산

동쪽을 양의 x방향, 북쪽을 양의 y방향으로 정합니다.

2u는 같은 방향으로 두 배, −v는 반대 방향입니다. 그림과 성분 계산이 같은 끝점을 주는지 확인합니다.

계산·논증

이동 경로와 최종 변위

동쪽을 \(x\)의 양의 방향, 북쪽을 \(y\)의 양의 방향으로 정하고 단위는 m로 한다. \(P=(1,2)\)에서 \(u=(3,0)\), \(v=(0,4)\)만큼 차례로 이동한다. ① 도착점과 전체 변위를 구하라. ② 이동한 거리와 전체 변위의 길이를 비교하라. ③ \(v\)부터 이동하면 무엇이 달라지는가?

계산·논증

한 벡터를 알아내는 계산

\(u=(2,-1)\)이고 \(2u-v=(1,3)\)이다. ① \(v\)를 구하고 원래 식으로 검산하라. ② “\(2u-v=2(u-v)\)”라는 풀이에서 잘못된 부분을 설명하라.

설명과 계산

성분이 더 많은 벡터

평면벡터의 성분별 계산을 \(n\)개의 실수 목록에 그대로 정의할 수 있습니다.

같은 시각에 측정한 네 센서의 변화량은 실수 네 개로 기록할 수 있습니다. 각 성분의 뜻과 단위를 고정해야 덧셈의 의미도 정해집니다. 저장 범위를 제한한 자료가 모든 실수배에 닫히는지는 별도로 확인해야 합니다.