정의와 표기
평면에서 평면으로 가는 함수
함수 \(T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2\)는 입력 순서쌍마다 출력 순서쌍 하나를 정하는 규칙입니다. 왼쪽 \(\mathbb R^2\)는 정의역, 오른쪽 \(\mathbb R^2\)는 공역입니다.
\(f,g:\mathbb R^2\to\mathbb R\)를 성분함수라 합니다. \(f\)는 출력의 첫 성분, \(g\)는 둘째 성분을 정합니다. \(T(p)\)는 입력점 \(p\)에서의 함수값입니다.
0B차시 · 개념 준비
두 성분을 함께 입력하는 함수
\(T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2\)는 입력 순서쌍마다 출력 순서쌍 하나를 정합니다. 출력의 두 성분도 각각 계산 규칙을 갖습니다.
한 점의 이동을 계산한 뒤 여러 점을 같은 규칙으로 옮기면 평면 전체의 변환이 됩니다.
예상
\(T(x,y)=(2x-y,\ y-x)\)일 때 \(T(2,1)\)은 어디일까?
\(x\)에 \(2\), \(y\)에 \(1\)을 대입해 두 성분을 각각 계산해 봅시다.
조작
입력점을 움직이면 출력점은 어떻게 움직일까?
입력점 \(P\)출력점 \(T(P)\)이동을 나타내는 화살표
정의와 표기
변위벡터와 벡터장
입력점 \(p\)에서 출력점 \(T(p)\)로 가는 변위벡터는 \(D(p)=T(p)-p\)입니다. \(T(p)\)는 도착 위치, \(D(p)\)는 이동량입니다.
벡터장 \(F\)는 각 점 \(p\)에 벡터 \(F(p)\)를 하나씩 지정합니다. 실제 크기로 그릴 때 화살표는 \(p\)에서 시작하여 \(p+F(p)\)에서 끝납니다. 이동을 그리려면 \(F(p)=T(p)-p\)를 사용합니다.
0B차시 · 유도와 계산
출력벡터와 변위벡터
\(p=(1,2)\)에서 함수값은 \(T(p)=(0,1)\)입니다. p에서 출발하는 이동 화살표에는 둘의 차이를 씁니다.
원점에서 그린 T(p)와 p에서 그린 T(p)−p를 구분합니다. 두 화살표의 끝점은 같은 출력점입니다.
발견
격자점에서 표본화한 변위벡터장
격자의 각 점 \(P\)에서 출발해 \(T(P)\)를 향하는 화살표를 그리면 함수의 이동 경향을 비교할 수 있습니다. 그림에는 유한한 격자점만 표시합니다.
바람 지도와 같은 원리
일기예보의 바람 지도도 각 지점에 화살표 하나씩을 붙인 그림이다.
화살표가 모두 향하는 곳과 멈추는 점을 찾아봅시다.
적용
세 벡터장의 화살표 무늬를 비교해 봅시다
계산·논증
함수값과 화살표의 끝점
\(p=(1,2)\), \(T(x,y)=(2x-y,y-x)\)이다. ① \(T(p)\)와 \(D(p)=T(p)-p\)를 구하라. ② 점 \(p\)에 \(T(p)\) 자체를 벡터로 붙이면 끝점은 어디인가? ③ \(T(p)=p\)인 모든 점을 구하라.
풀이와 판단 근거
\(T(p)=(0,1)\), \(D(p)=(-1,-1)\)이다. \(p\)에 \(T(p)\)를 붙인 끝점은 \(p+T(p)=(1,3)\)이므로 실제 출력점 \((0,1)\)과 다르다. 고정되는 점은 \(2x-y=x,\ y-x=y\)를 만족한다. 둘째 식에서 \(x=0\), 첫째 식에서 \(y=0\)이므로 원점뿐이다.
계산·논증
출력에서 입력 찾기
\(T(x,y)=(2x-y,y-x)\)에서 출력이 \((a,b)\)라고 하자. ① 입력을 \(a,b\)로 나타내라. ② 출력 \((3,-1)\)의 입력을 구하라. ③ 서로 다른 두 입력이 같은 출력을 가질 수 있는지 판단하라.
풀이와 판단 근거
출력이 \((3,-1)\)이면 입력은 \((2,1)\)이다. 출력 \((a,b)\)마다 입력이 위 식 하나로 정해지므로 서로 다른 두 입력이 같은 출력을 가질 수 없다.
마무리
함수값과 변위벡터의 구분
식 · \(T(x,y)=(f(x,y),\ g(x,y))\), 성분함수 두 개
대응 · 입력점 \(P\)가 출력점 \(T(P)\)로 옮겨진다
벡터장 · 각 점 p에 붙이는 벡터 F(p)를 지정한다. 이동 벡터장은 F(p)=T(p)−p이다
1차시: 이런 함수 가운데 덧셈과 스칼라배를 보존하는 것을 찾습니다.