정의와 조건

첨가행렬과 기본행연산

\(Ax=b\)의 계수행렬 옆에 우변을 붙인 \([A\mid b]\)를 첨가행렬이라 합니다. \(R_i\)는 \(i\)번째 행을 가리킵니다. 다음 세 가지를 기본행연산이라 합니다.

\[R_i\leftrightarrow R_j,\qquad R_i\leftarrow cR_i\ (c\ne0),\qquad R_i\leftarrow R_i+cR_j\ (i\ne j)\]

행 전체에 적용하므로 구분선 오른쪽의 우변도 함께 바꿉니다. 이 연산으로 미지수를 차례로 없애는 풀이가 가우스 소거법입니다.

이유와 증명

행연산이 해집합을 보존하는 이유

첫째 방정식의 \(c\)배를 둘째 방정식에 더해도 기존의 해는 새 방정식을 만족합니다. 반대로 새 둘째 식에서 같은 배수를 빼면 원래 둘째 식을 회복합니다.

\[\left[\begin{array}{cc|c}1&1&3\\2&3&8\end{array}\right]\xrightarrow{R_2\leftarrow R_2-2R_1}\left[\begin{array}{cc|c}1&1&3\\0&1&2\end{array}\right]\]

행 교환은 다시 교환하여, 0이 아닌 \(c\)배는 \(1/c\)배하여 되돌릴 수 있습니다. 양방향으로 같은 해를 얻으므로 해집합이 같습니다. 0배는 되돌릴 수 없으므로 제외합니다.

정의와 조건

행 사다리꼴과 피벗

행 사다리꼴은 ① 영행이 맨 아래에 있고, ② 0이 아닌 행의 첫 0이 아닌 성분이 아래 행으로 갈수록 오른쪽에 있으며, ③ 그 성분 아래가 모두 0인 형태입니다. 각 행의 첫 0이 아닌 성분을 피벗이라 합니다.

\[\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&1\\0&0&3&3\\0&0&0&0\end{array}\right]\]

이 예의 계수 부분에서 피벗열은 1열과 3열입니다. 피벗을 모두 1로 만들고 각 피벗의 위쪽도 0으로 만들면 기약 행 사다리꼴입니다.

정의와 조건

피벗변수·자유변수·모순행

계수 부분의 피벗열에 해당하는 미지수를 피벗변수, 나머지를 자유변수라 합니다. \([0\ \cdots\ 0\mid c]\), \(c\ne0\)인 행은 \(0=c\)를 뜻하므로 모순행이라 합니다.

먼저 모순행이 있는지 확인합니다. 없을 때 미지수 수를 \(n\), 계수 부분의 피벗 수를 \(r\)라 하면 자유변수는 \(n-r\)개입니다.

\[\begin{array}{c|c}\text{모순행 있음}&\text{해 없음}\\\text{모순 없음, }r=n&\text{유일한 해}\\\text{모순 없음, }r<n&\text{무한히 많은 실수 해}\end{array}\]

예제

세 방정식을 소거할 준비

\[\begin{aligned}x_1+2x_2-x_3&=1\\2x_1+4x_2+x_3&=5\\-x_1-2x_2+2x_3&=0\end{aligned}\]

계수와 우변을 첨가행렬로 옮깁니다. 먼저 첫 행을 사용해 아래 두 행의 \(x_1\)을 없앱니다. 방정식이 세 개라는 사실만으로 해가 하나라고 단정할 수는 없습니다.

조작

행연산 한 번에 달라지는 것

다음 행연산을 누르면 무엇이 달라질까? 한 단계씩 확인해 봅시다.

시작 행렬입니다.
피벗을 찾는 중입니다.

예제

자유변수로 모든 해를 기록하기

\[\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&0&2\\0&0&1&1\\0&0&0&0\end{array}\right]\quad\Longrightarrow\quad x_1+2x_2=2,\ x_3=1\]
\[x_2=t\quad\Longrightarrow\quad x=(2-2t,t,1)=(2,0,1)+t(-2,1,0)\]

모든 실수 \(t\)를 허용합니다. 대입하면 원래 세 식의 좌변은 차례로 \(1,5,0\)이므로 모두 해입니다. 반대로 위 두 식의 모든 해는 이 형태이므로 빠진 해도 없습니다.

계산·논증

매개변수에 따라 해의 개수 분류하기

행연산 결과가 \(\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&2&3\\0&1&-1&0\\0&0&a&b\end{array}\right]\)이다. ① \(a\ne0\)일 때 해를 구하라. ② \(a=0,b=0\)일 때 모든 해를 나타내라. ③ \(a=0,b\ne0\)일 때 해가 없는 이유를 설명하라.

풀이와 판단 근거

\(a\ne0\)이면 \(x_3=b/a,x_2=b/a,x_1=3-2b/a\)로 유일하다. \(a=b=0\)이면 셋째 행은 조건을 더하지 않으므로 \((x_1,x_2,x_3)=(3-2t,t,t)\)이다. \(a=0,b\ne0\)이면 셋째 행이 \(0=b\)라는 모순이므로 해가 없다. 미지수와 방정식의 개수는 같아도 세 경우가 모두 가능하다.

정의와 조건

단위행렬과 역행렬의 정의

대각 성분이 1이고 나머지 성분이 0인 \(n\times n\) 행렬을 단위행렬 \(I_n\)이라 합니다. 크기가 맞으면 \(I_nx=x\)입니다.

\[I_2=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix},\qquad AB=BA=I_n\]

정사각행렬 \(A\)에 대해 마지막 등식을 만족하는 \(B\)가 있으면 \(A\)가 가역이라고 하고 \(B\)를 역행렬 \(A^{-1}\)이라 합니다. 역행렬은 성분의 역수를 모은 행렬이 아닙니다. \(Ax=b\)이면 \(x=A^{-1}b\)로 입력을 되찾습니다.

이유와 증명

역행렬 계산은 여러 우변을 함께 푸는 일

\(AX=I_n\)의 열별 방정식은 \(Ax_j=e_j\)입니다. \(e_j\)는 \(I_n\)의 \(j\)번째 열입니다. 같은 행연산을 모든 우변에 동시에 적용합니다.

\[[A\mid I_n]\longrightarrow[I_n\mid X]\]

각 열의 해를 구했으므로 \(AX=I_n\)입니다. 또한 왼쪽이 \(I_n\)으로 소거되면 \(Az=0\)의 해는 \(z=0\)뿐입니다. \(A(XA-I_n)=0\)의 각 열에 이를 적용하면 \(XA=I_n\)도 얻습니다. 따라서 \(X=A^{-1}\)입니다.

계산 애니메이션

2×2 역행렬을 두 연립방정식으로 구하기

계산 애니메이션

3×3 역행렬의 가우스–조르당 계산 · 선택 연습

계산·논증

한쪽 곱만 확인해도 역행렬일까?

직사각행렬 \(A=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}\), \(B=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{bmatrix}\)이다. ① \(AB\)와 \(BA\)를 계산하라. ② \(Ax=b\)의 모든 해를 써라. ③ \(AB=I_2\)라는 사실만으로 모든 입력을 되찾을 수 있는지 설명하라.

풀이와 판단 근거
\[AB=I_2,\qquad BA=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}\]

\(b=(b_1,b_2)\)이면 모든 해는 \((b_1,b_2,t)\)이다. 두 성분 벡터 \(y\)에 대해 \(By=(y_1,y_2,0)\)이므로 \(B\)는 끝에 0을 붙인다. 특히 \(B(Ax)=(x_1,x_2,0)\)여서 원래 셋째 성분은 되찾지 못한다. 정사각행렬과 양쪽 곱이라는 정의의 조건을 무시하면 안 된다.

계산·논증

되돌릴 수 없는 행연산의 위험

\(x+y=3\), \(x-y=1\)에서 둘째 행을 0배한 뒤 “\((x,y)=(3-t,t)\)가 모두 원래 해”라고 했다. ① 원래 연립방정식의 해를 구하라. ② 새 식만 만족하고 원래 식을 만족하지 않는 반례를 제시하라. ③ 왜 기본행연산에서 0배를 제외하는지 설명하라.

풀이와 판단 근거

원래 두 식을 더하면 \(x=2\), 따라서 \(y=1\)이다. 0배 후에는 \(x+y=3\)만 남아서 예를 들어 \((3,0)\)도 허용하지만 원래 둘째 식에서는 \(3-0=3\ne1\)이다. 기존 해는 남지만 새로운 해가 추가되었다. 사라진 둘째 식을 복구할 수 없으므로 해집합이 보존되지 않는다.