질문
방정식 수와 미지수 수가 같으면 해는 유일할까?
해의 개수는 독립인 조건의 수와 모순행의 존재 여부로 결정된다.
\[\begin{aligned}
x_1+2x_2-x_3&=1\\
2x_1+4x_2+x_3&=5\\
-x_1-2x_2+2x_3&=0
\end{aligned}\]
예상
가우스 소거 전 해의 개수 예상
방정식 사이의 선형 종속 가능성도 고려한다.
조작
기본행연산으로 행 사다리꼴 만들기
버튼을 눌러 기본행연산을 한 단계씩 적용한다.
발견
피벗이 없는 열과 자유변수
\(x_1,x_3\)은 피벗변수이고 \(x_2\)는 자유변수이다.
각 \(t\in\mathbb R\)가 해 하나를 결정한다.
개념
피벗과 모순행에 따른 해집합의 분류
행 교환, 0이 아닌 배, 다른 행의 배 더하기는 해집합을 보존한다.
행 교환0이 아닌 상수배다른 행의 배 더하기
해가 없는 조건
\([0\ \cdots\ 0\mid c]\), \(c\ne0\)인 행이 생기면 해가 없다.
자유변수 수
일관된 계에서는 \(n-r\)개이다.
적용
기약행 사다리꼴에서 해집합 구하기
\[\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&2&3\\0&1&-1&0\\0&0&0&0\end{array}\right]\]
미지수: \(x_1,x_2,x_3\)
해집합 계산
자유변수를 정하고 해집합을 매개변수로 나타낸다.
\(x_3=t\), \(x_1=3-2t\), \(x_2=t\)이므로 해가 무한히 많다.
확인
자유변수 수 계산
미지수는 4개이고 계는 일관되며 피벗은 2개이다.
마무리
피벗 수와 자유변수 수
기본행연산은 해집합을 보존하며 피벗변수와 자유변수를 구분한다.
출구 질문
피벗 수는 계수행렬의 어떤 양과 같은가?
행렬과 연립방정식