정의와 조건

행렬이 정하는 선형변환

함수 \(T:\mathbb R^n\to\mathbb R^m\)가 덧셈과 실수배를 보존하면 선형변환이라 합니다. \(m\times n\) 행렬 \(A\)는 \(T_A(x)=Ax\)라는 함수를 정합니다.

\[A(\alpha u+\beta v)=\sum_j(\alpha u_j+\beta v_j)a_j=\alpha Au+\beta Av\]

따라서 행렬이 정하는 함수는 선형변환입니다. 이번 차시에서는 영벡터로 가는 입력과 가능한 출력의 집합을 구합니다. 다음 차시에서는 표준기저의 이동으로 행렬을 구성합니다.

정의와 조건

핵과 상: 어느 공간의 부분집합인가?

선형변환 \(T:\mathbb R^n\to\mathbb R^m\)의 핵은 영벡터로 가는 입력 전체, 상은 실제로 얻을 수 있는 출력 전체입니다.

\[\ker T=\{x\in\mathbb R^n:T(x)=0\}\]
\[\operatorname{im}T=\{T(x):x\in\mathbb R^n\}\subseteq\mathbb R^m\]

행렬 \(A\)의 핵은 \(Ax=0\)의 해집합입니다. 상은 \(Ax\)로 얻는 모든 벡터이므로 앞서 정의한 열공간 \(\operatorname{Col}(A)\)와 같습니다.

이유와 증명

핵과 상은 왜 부분공간인가?

선형성으로 \(T(0)=0\)이므로 두 집합 모두 영벡터를 포함합니다.

\[T(u)=T(v)=0\quad\Longrightarrow\quad T(\alpha u+\beta v)=0\]

따라서 핵은 모든 선형결합에 닫혀 있습니다. 상의 두 원소는 어떤 입력 \(u,v\)를 골라 \(T(u),T(v)\)로 쓸 수 있습니다.

\[\alpha T(u)+\beta T(v)=T(\alpha u+\beta v)\in\operatorname{im}T\]

상도 모든 선형결합에 닫히므로 부분공간입니다. 핵과 상이 서로 다른 공간에 있을 수 있다는 점에 주의합니다.

예제

하나의 예에서 핵과 상을 끝까지 계산하기

\[A=\begin{bmatrix}1&1\\2&2\end{bmatrix},\qquad T(x_1,x_2)=(x_1+x_2)(1,2)\]

\(Ax=0\)은 \(x_1+x_2=0\)과 같으므로 \(x=(t,-t)\)입니다. 출력은 항상 \((1,2)\)의 배수이고 임의의 배수 \(s(1,2)\)는 입력 \((s,0)\)으로 얻습니다.

\[\ker A=\operatorname{span}\{(1,-1)\},\qquad\operatorname{im}A=\operatorname{span}\{(1,2)\}\]

조작

입력을 바꾸어 핵과 상 확인하기

\(T(x_1,x_2)=(x_1+x_2,2x_1+2x_2)\)를 고정합니다. 입력이 핵 위에 있을 때와 그 밖에 있을 때를 비교합니다.

1.0
0.0
T(x)=(1.0,2.0)
입력과 출력의 대응 정의역의 직선 x₂=-x₁은 0으로 가고 나올 수 있는 모든 출력은 직선 y₂=2y₁에 놓입니다. 모든 출력을 표시하기 위해 공역의 축척을 더 작게 잡았습니다. 정의역 공역 T(𝐱)=𝟎 상 입력과 출력의 축척은 다름

이유와 증명

같은 출력을 갖는 입력 전체

\(Ax_0=b\)인 해 하나를 알고 있다고 합시다. 다른 해 \(x\)와의 차이는 핵에 들어갑니다.

\[Ax=Ax_0\quad\Longleftrightarrow\quad A(x-x_0)=0\]
\[\{x:Ax=b\}=\{x_0+z:z\in\ker A\}\]

반대로 \(z\in\ker A\)이면 \(A(x_0+z)=b\)이므로 위 식은 모든 해를 빠짐없이 나타냅니다. \(b\ne0\)이면 이 해집합 자체는 영벡터를 포함하지 않아 부분공간이 아닙니다.

정의와 조건

랭크·널리티와 차원 정리

상의 차원을 랭크, 핵의 차원을 널리티라 합니다. \(A\)가 \(m\times n\) 행렬이면 다음과 같이 씁니다.

\[\operatorname{rank}A=\dim\operatorname{im}A,\qquad\operatorname{nullity}A=\dim\ker A\]
\[\operatorname{rank}A+\operatorname{nullity}A=n\]

마지막 식이 랭크–널리티 정리입니다. 오른쪽은 정의역의 차원입니다. 공역의 차원 \(m\)은 랭크의 상한이며, 여기서 핵의 차원과 더하는 수가 아닙니다.

이유와 증명

피벗 수로 랭크–널리티 정리 증명하기

\(A\)를 기약 행 사다리꼴로 만들고 피벗 수를 \(r\)이라 합시다. 피벗열은 독립이고 다른 열은 피벗열들의 조합입니다. 되돌릴 수 있는 행연산은 열 사이의 선형관계를 보존하므로 원래 행렬의 같은 위치의 열들도 상의 기저를 이룹니다. 따라서 랭크는 \(r\)입니다.

\(Ax=0\)에서 자유변수 \(n-r\)개를 각각 1, 나머지를 0으로 두어 해벡터를 만듭니다. 모든 해는 이 벡터들의 조합이고, 자유변수 성분을 비교하면 이 벡터들은 독립입니다. 따라서 널리티는 \(n-r\)입니다.

\[\operatorname{rank}A+\operatorname{nullity}A=r+(n-r)=n\]

계산·논증

핵·상·일반해를 함께 구하기

\(A=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}\)이다. ① 핵과 상의 기저를 각각 구하라. ② 랭크–널리티 정리를 확인하라. ③ \(Ax=(2,3)\)의 모든 해를 “특정한 해 + 핵의 원소”로 나타내라.

풀이와 판단 근거
\[\ker A=\operatorname{span}\{(-1,-1,1)\},\qquad\operatorname{im}A=\mathbb R^2\]

핵에서는 \(x_1=-x_3,x_2=-x_3\)이다. 상의 기저는 원래 첫 두 열 \((1,0),(0,1)\)로 잡을 수 있다. 랭크 2와 널리티 1의 합은 입력 차원 3이다. 특정한 해 \((2,3,0)\)를 사용하면 모든 해는 \((2,3,0)+t(-1,-1,1)\)이다.

정의와 조건

일대일과 전사

서로 다른 입력이 반드시 다른 출력으로 가면 일대일, 공역의 모든 원소가 출력으로 나타나면 전사라 합니다. 선형변환에서는 핵과 상으로 판정합니다.

\[T\text{ 가 일대일}\iff\ker T=\{0\}\]
\[T:\mathbb R^n\to\mathbb R^m\text{ 가 전사}\iff\operatorname{im}T=\mathbb R^m\]

첫 동치는 \(T(u)=T(v)\iff u-v\in\ker T\)에서 얻습니다. 둘째 동치는 상과 전사의 정의를 그대로 쓴 것입니다. 일대일은 입력의 구별, 전사는 공역 전체를 얻는 문제입니다.

계산·논증

가능한 랭크와 불가능한 요구

선형변환 \(T:\mathbb R^5\to\mathbb R^3\)의 랭크가 2이다. ① 핵의 차원과 일대일·전사 여부를 판단하라. ② 공식을 바꾸어 일대일이 되게 만들 수 있는가? ③ 랭크가 3인 경우에는 어떤 결론이 달라지는가?

풀이와 판단 근거

널리티는 \(5-2=3\)이다. 핵이 \(\{0\}\)보다 크므로 일대일이 아니고, 상의 차원 2가 공역 차원 3보다 작으므로 전사도 아니다. 어떤 선형변환을 골라도 랭크는 3 이하라서 널리티가 적어도 2이다. 따라서 같은 정의역과 공역을 유지하면 일대일로 만들 수 없다. 랭크가 3이면 전사는 되지만 널리티 2가 남아 여전히 일대일은 아니다.