\(\ker T=\{v\in V:T(v)=0\}\)
질문
어떤 입력이 0으로 가고, 어떤 출력이 가능할까?
0으로 가는 입력의 집합과 가능한 출력벡터 전체를 구한다.
\[T(x_1,x_2)=(x_1+x_2,\ 2x_1+2x_2)\]
\(A=\begin{bmatrix}1&1\\2&2\end{bmatrix}\)
예상
0으로 가는 입력
두 좌표의 합이 0인 벡터를 고른다.
조작
0으로 가는 입력과 가능한 출력 전체
입력벡터와 출력벡터의 대응을 관찰한다.
발견
핵과 상의 기저
0으로 가는 입력의 집합이 핵이고, 가능한 출력 전체가 상이다.
\(\ker(T)=\operatorname{span}\{(1,-1)\},\quad \operatorname{im}(T)=\operatorname{span}\{(1,2)\}\)
\(\dim\mathbb R^2=\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T=1+1\)이다.
개념
랭크-널리티 정리
\(V\)가 유한차원이고 \(T:V\to W\)가 선형이라고 하자.
\(\operatorname{im}T=\{T(v):v\in V\}\)
\[\dim V=\operatorname{nullity}(T)+\operatorname{rank}(T)\]
\(\operatorname{nullity}(T)=\dim\ker T\), \(\operatorname{rank}(T)=\dim\operatorname{im}T\)
적용
\(\mathbb R^3\)에서 정의된 변환의 핵과 상
\(A=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}\)은 \(\mathbb R^3\)에서 \(\mathbb R^2\)로 간다.
핵과 상 계산
\(Ax=0\)의 해공간과 계수행렬의 열공간을 구한다.
\(\ker A=\operatorname{span}\{(-1,-1,1)\}\), \(\operatorname{im}A=\mathbb R^2\)이다.
확인
널리티 계산
\(T:\mathbb R^5\to\mathbb R^3\)의 랭크가 2라고 하자.
마무리
핵과 상의 차원
\(\dim V=\operatorname{nullity}(T)+\operatorname{rank}(T)\)이다.
출구 질문
정의역의 차원, 널리티, 랭크는 어떤 식을 만족하는가?
선형사상