질문
행렬이 달라도 같은 변환일 수 있을까?
같은 \(T(x,y)=(2x+y,y)\)를 두 기저에서 행렬로 나타낸다.
표준기저 \(E\)
\(A_E=\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}\)
기저 \(B=((1,0),(1,1))\)
\(A_B=\begin{bmatrix}2&2\\0&1\end{bmatrix}\)
예상
\(A_B\)의 첫 번째 열은 무엇일까?
\(B=(b_1,b_2)=((1,0),(1,1))\)이고 \(T(b_1)=2b_1\)이다.
조작
두 좌표계에서 계산한 결과 비교
\(P\)로 출력의 \(B\)좌표를 표준좌표로 바꾸어 두 계산을 비교한다.
발견
두 계산 순서의 일치
좌표변환과 선형변환의 적용 순서를 바꾸어도 같은 출력벡터를 얻는다.
모든 \(v\)에서 \(PA_B=A_EP\)가 성립한다.
개념
기저에 따른 행렬 표현
\(T:V\to W\)가 선형이고 \(B,C\)가 각각 정의역과 공역의 기저라고 하자.
\[[T(v)]_C=[T]_{C\leftarrow B}[v]_B\]
\(j\)번째 열 = \([T(b_j)]_C\)
\[A_B=P^{-1}A_EP\]
\(P\): \(B\)좌표\(\to E\)좌표, 정의역과 공역의 기저를 함께 \(B\)로 바꾸는 경우
적용
기저벡터의 상으로 행렬 결정
\(T(b_1)=2c_1-c_2\), \(T(b_2)=3c_1+4c_2\)라고 하자.
열벡터 결정
\([T]_{C\leftarrow B}\)의 두 열을 차례로 구한다.
\([T]_{C\leftarrow B}=\begin{bmatrix}2&3\\-1&4\end{bmatrix}\)이다.
확인
같은 변환의 기저변환식
\(P\)는 \(B\)좌표를 \(E\)좌표로 바꾸는 가역행렬이다.
마무리
선형사상과 그 행렬 표현
기저가 달라지면 행렬은 달라도 선형사상은 같을 수 있다.
출구 질문
행렬의 \(j\)번째 열은 어떤 좌표벡터인가?
선형사상과 행렬