12차시 · 정의

행렬변환의 정의

\(A\)가 \(m\times n\) 실수행렬일 때, 입력벡터 \(v\in\mathbb R^n\)을 \(Av\in\mathbb R^m\)으로 보내는 함수 \(T_A\)를 A가 나타내는 행렬변환이라 한다.

입력의 성분 수는 A의 열 수, 출력의 성분 수는 A의 행 수와 같다. 상 \(T_A(v)\)는 벡터 v를 변환한 결과이다.

12차시 · 성질과 근거

행렬변환의 선형성

선형변환의 정의는 모든 입력 u,v와 모든 실수 a,b에서 아래 등식이 성립한다는 것이다. 행렬곱의 분배법칙과 실수배 법칙으로 확인한다.

따라서 모든 행렬변환은 선형이다. 예를 몇 개 계산하는 것과 달리 이 계산은 모든 입력을 한 번에 다룬다.

12차시 · 정의

표준기저와 행렬의 열

평면의 표준기저는 순서 있는 두 벡터 \(e_1=(1,0)^T,e_2=(0,1)^T\)이다. 행렬변환에서는 \(Ae_j\)가 A의 j번째 열이다.

역으로 선형변환 T가 주어지면 \(A=[T(e_1)\ T(e_2)]\)로 두어 모든 v에서 \(T(v)=Av\)가 되게 한다. 여기서는 입력·출력 모두 표준기저를 쓴다.

12차시 · 예제

열의 선형결합으로 출력 계산

\(T(e_1)=(2,0)^T\), \(T(e_2)=(1,1)^T\)이면 두 출력벡터를 열에 놓는다.

첫 번째 계수 3은 첫 열에, 두 번째 계수 2는 둘째 열에 곱한다. 행렬을 세로로 읽은 계산과 행별 내적 계산을 비교할 수 있다.

12차시 · 정의

회전·대칭·정사영·전단의 뜻

• 회전: 원점까지의 거리를 유지하며 모든 방향의 각도를 같은 θ만큼 바꾼다.
• y축 대칭: (x,y)를 (−x,y)로 보낸다.
• x축 정사영: (x,y)를 x축의 가장 가까운 점 (x,0)으로 보낸다.
• 전단: y를 유지하면서 x에 ky를 더한다. (H_k(x,y)=(x+ky,y))이다.

정의한 변환을 격자에 적용

좌표축은 고정합니다. e₁, e₂의 도착점이 행렬의 두 열이고 모든 격자점도 같은 행렬로 이동합니다.

파랑: 첫째 열 · 주황: 둘째 열 · 검정: v=(1,1)의 상. 중간 장면은 I와 A 사이의 보간이며, 최종 행렬 A의 작용을 보여 주기 위한 과정입니다.

12차시 · 성질과 근거

회전행렬의 두 열

반시계 방향 θ 회전은 \(e_1\)을 \((\cos\theta,\sin\theta)^T\)로 보낸다. \(e_2\)의 원래 각도는 90°이므로 상은 \((-\sin\theta,\cos\theta)^T\)이다.

행렬의 열 순서는 e₁, e₂의 순서이다. 두 벡터를 행에 놓으면 반대 방향의 회전행렬이 된다.

12차시 · 적용·논증

표준기저가 아닌 두 입력에서 행렬 찾기

선형변환 T에 대해 \(T(1,1)=(3,1)\), \(T(1,-1)=(1,-1)\)이다.

1. e₁, e₂를 (1,1), (1,−1)의 선형결합으로 나타내고 T의 행렬 A를 구하시오.
2. T(3,2)를 계산하시오. 주어진 두 출력을 그대로 A의 열에 놓으면 왜 틀리는지 설명하시오.

12차시 · 적용·논증

두 기저벡터의 출력만 확인하면 충분한가

\(F(x,y)=(2x+y,\ y+x(x-1))\)와 \(A=\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}\)를 비교한다.

1. F(e₁), F(e₂)가 A의 두 열과 같은지 확인하시오.
2. F(2e₁)와 2F(e₁)를 비교하여 “기저벡터의 출력이 같으면 모든 함수의 출력도 같다”는 주장을 판정하시오.

12차시 · 적용·논증

매개변수에 따라 사라지는 입력 정보

\(A_t=\begin{bmatrix}1&t\\0&1-t\end{bmatrix}\), \(t\in\mathbb R\)이다.

1. 두 표준기저의 상을 구하고, 평면 전체가 한 직선으로 가는 t를 찾으시오.
2. 그 t에서 핵을 구하시오. 나머지 t에서는 출력 (a,b)로부터 입력 (x,y)를 어떻게 복원할 수 있는가?