13차시 · 정의

합성변환과 합성행렬

\(T:U\to V\), \(S:V\to W\)에 대해 먼저 T, 다음 S를 적용하는 함수를 합성 \(S\circ T\)라 한다.

A가 m×n, B가 p×m이면 BA는 p×n이다. 중간 공간 V에서는 두 계산이 같은 기저를 사용해야 한다. 곱 BA에서 A가 먼저 작용한다.

13차시 · 예제

전단과 회전의 합성 계산

\(H=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\)는 전단, \(R=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}\)는 90° 회전이다. 각 열은 e₁, e₂가 두 변환을 거친 상이다.

(1,1)에 적용하면 각각 (−1,2), (0,1)이다. 반례 하나로 “행렬곱의 순서를 언제나 바꿀 수 있다”는 주장을 반박한다.

13차시 · 적용·논증

합성 순서를 바꿔도 되는 조건

\(H=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\), \(D=\begin{bmatrix}a&0\\0&b\end{bmatrix}\)에서 a,b는 실수이다.

1. DH와 HD를 구하고, 두 행렬이 같을 필요충분조건을 찾으시오.
2. “행렬곱은 교환법칙이 성립하지 않는다”를 예외가 없다는 뜻으로 읽어도 되는가? 계산 결과로 설명하시오.

13차시 · 정의

역변환과 가역성

함수 T에 대해 \(T^{-1}\circ T\)와 \(T\circ T^{-1}\)이 각각 항등함수이면 \(T^{-1}\)을 역변환이라 한다. 입력과 출력이 일대일로 대응할 때 존재한다.

같은 크기의 정사각행렬 A,B가 가역이면 합성 BA도 가역이다. 역변환은 마지막에 적용한 B부터 되돌린다.

13차시 · 적용·논증

역행렬 공식에서 사용한 법칙

A,B는 가역인 n×n 행렬이다. 한 학생이 \((BA)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)이라고 썼다.

1. 올바른 후보 C를 제시하고 C(BA), (BA)C를 각각 계산하시오.
2. 계산에서 곱셈 순서를 교환한 곳이 있는가? 결합법칙과 교환법칙을 구별해 설명하시오.

13차시 · 정의

기저에 대한 좌표와 기저변환행렬

순서 있는 기저 \(B=(b_1,\ldots,b_n)\)에서 \(v=c_1b_1+\cdots+c_nb_n\)일 때 계수열 \([v]_B=(c_1,\ldots,c_n)^T\)을 B좌표라 한다.

기저벡터는 표준좌표로 열에 놓는다. P_B는 기저변환행렬이며, 기저의 독립성과 생성 조건 때문에 역행렬을 갖는다. 벡터 v와 그 좌표열 [v]_B를 구별한다.

13차시 · 정의

입력·출력 기저에 따른 행렬 표현

선형변환 \(T:\mathbb R^n\to\mathbb R^m\)의 입력 기저가 B, 출력 기저가 C일 때, 다음 관계를 만족하는 행렬을 T의 행렬 표현이라 한다.

\(j\)번째 열은 입력 기저벡터 \(b_j\)를 변환한 뒤 출력 기저 \(C\)로 읽은 좌표이다. 행렬의 크기는 m×n이며, 입력과 출력에 같은 기저를 쓸 필요는 없다.

13차시 · 성질과 근거

좌표를 바꾸는 세 단계

표준좌표 행렬을 A, 정의역 기저의 기저변환행렬을 P, 공역 기저의 기저변환행렬을 Q라 두면 \(v=P[v]_B\), \([T(v)]_C=Q^{-1}Av\)이다.

입력과 출력이 같은 공간이고 양쪽 모두 B를 쓸 때 Q=P이다. 이때 \(A_B=P^{-1}AP\)이며 두 행렬 A와 A_B를 닮음 관계라고 한다.

13차시 · 예제

같은 변환을 두 기저로 계산

\(A=\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}\), \(B=((1,0),(1,1))\)이면 \(P=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\)이다.

\([v]_B=(1,1)^T\)이면 \(v=(2,1)^T\), \(Av=(5,1)^T\)이다. 한편 \(A_B[v]_B=(4,1)^T\)이고 \(P(4,1)^T=(5,1)^T\)이므로 같은 출력벡터를 얻는다.

13차시 · 적용·논증

입력 기저와 출력 기저가 다른 경우

\(T(x,y)=(2x+y,y)\), \(B=((1,0),(1,1))\), \(C=((1,1),(0,1))\)이다.

1. \([T]_{C\leftarrow B}\)를 두 열의 정의로 구하시오.
2. 기저변환행렬 P,Q를 써서 검산하시오. \(P^{-1}AP\)를 쓰면 어떤 기저의 출력이 나오는가?

13차시 · 적용·논증

항등변환의 행렬은 항상 단위행렬인가

항등변환은 모든 벡터 v를 그대로 v로 보내는 함수이다.

1. 입력·출력에 같은 기저 B를 쓰면 그 행렬이 I임을 설명하시오.
2. 입력 기저는 B, 출력 기저는 다른 C라면 행렬이 꼭 I인가? \(B=((1,0),(1,1))\), \(C=((1,1),(0,1))\)로 판단하시오.