\(R(Hv)=(-1,2)\)
합성행렬은 \(RH\)이다.
질문
두 변환의 순서를 바꾸어도 같을까?
전단 \(H\)와 90° 회전 \(R\)의 합성 순서를 비교한다.
순서 1
전단 H
→
90° 회전 R
↔
순서 2
90° 회전 R
→
전단 H
예상
\(H\) 다음 \(R\)과 \(R\) 다음 \(H\)는 같을까?
\(H(x,y)=(x+y,y)\), \(R(x,y)=(-y,x)\)로 정한다.
조작
두 합성변환의 결과 비교
같은 삼각형에 \(R\circ H\)와 \(H\circ R\)을 적용하고 꼭짓점 좌표를 비교한다.
합성 순서 선택
발견
합성은 결합되지만 일반적으로 교환되지 않는다
\(v=(1,1)\) 하나만으로도 두 합성이 다름을 보일 수 있다.
\(H(Rv)=(0,1)\)
합성행렬은 \(HR\)이다.
\(RH\ne HR\)이다. 이것이 행렬곱의 비가환성이다.
개념
오른쪽 변환이 먼저 작용한다
\((B\circ A)(v)=B(Av)=(BA)v\)\(A\)와 \(B\)는 합성 가능한 선형변환이다.
\((BA)^{-1}=A^{-1}B^{-1}\)\(A\)와 \(B\)가 모두 가역일 때 성립한다.
적용
합성변환의 역변환 적용 순서
\(A\)를 적용한 뒤 \(B\)를 적용했다면 \(B^{-1}\)과 \(A^{-1}\)의 순서로 복원한다.
실행
\(v\to Av\to BAv\)
⇄
역변환
\(BAv\to Av\to v\)
\(B^{-1}\) 다음 \(A^{-1}\)
\(A^{-1}B^{-1}BAv=v\)
확인
\(C=BA\)일 때 \(C^{-1}\)은 무엇일까?
\(A\)와 \(B\)는 모두 가역행렬이다.
마무리
합성 순서와 역변환
- 합성 \(BA\)에서는 \(A\)가 먼저 작용한다.
- 행렬곱은 일반적으로 \(AB\ne BA\)이다.
- 역변환은 \((BA)^{-1}=A^{-1}B^{-1}\)이다.
합성의 역행렬에서는 역행렬의 곱셈 순서가 반대이다.