14차시 · 정의

2×2 행렬식의 정의

실수 정사각행렬 \(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\)에 대응하는 수 ad−bc를 행렬식이라 하고 det A로 쓴다.

대괄호 [ ]는 행렬, 세로줄 | |은 여기서 행렬식을 나타낸다. det A는 행렬이 아니라 하나의 수이며, 이 수의 절댓값은 \(|\det A|\)로 쓴다.

14차시 · 정의

부호 있는 넓이와 방향

열벡터 \(u=(a,c),v=(b,d)\)가 만드는 평행사변형의 넓이는 \(|ad-bc|\)이다. u에서 v로 보는 회전 방향이 반시계이면 양수, 시계이면 음수로 기록한다.

이렇게 방향을 함께 기록한 값을 부호 있는 넓이라 한다. 행렬변환은 단위정사각형의 두 변을 u,v로 보내므로 |det A|가 넓이 배율이다. 두 열이 종속이면 넓이가 0이다.

14차시 · 예제

행렬식의 계산과 넓이 해석

\(A=\begin{bmatrix}2&1\\1&3\end{bmatrix}\)의 두 열은 (2,1), (1,3)이다.

열을 바꾸면 실제 넓이 5는 같고 방향만 바뀐다. 원점과 두 열을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이는 평행사변형의 절반인 5/2이다.

14차시 · 성질과 근거

한 열에 대한 선형성과 열 교환

다중선형성은 다른 열을 고정할 때 각 열에 대해 선형이라는 뜻이다. 두 열 모두를 한꺼번에 바꾸는 행렬 전체의 선형성과는 다르다.

한 열에 다른 열의 배를 더해도 행렬식은 같다. 같은 두 열이면 0인 성질과 한 열씩의 선형성 때문에 이 등식이 성립한다.

14차시 · 적용·논증

다중선형성을 잘못 적용한 계산

한 학생이 “행렬식은 선형이므로 \(\det(2A)=2\det A\), \(\det(A+B)=\det A+\det B\)”라고 주장한다. 여기서 A,B는 2×2 행렬이다.

1. A=B=I를 대입해 두 주장을 판정하시오.
2. \(\det(cA)\)의 올바른 식을 두 열에 대한 선형성으로 설명하시오.

14차시 · 정의

소행렬식·여인수와 고차 행렬식

A의 i행 j열을 지운 행렬의 행렬식을 소행렬식 \(M_{ij}\)라 한다. 위치 부호를 붙인 \(C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)를 여인수라 한다.

이 재귀식으로 n×n 행렬식을 정의할 수 있다. 첫 행의 부호는 +,−,+,…이다. 어느 한 행이나 한 열을 골라 전개해도 같은 값을 얻으며, 한 열씩의 선형성과 열 교환의 부호 반전도 유지된다.

계산 애니메이션

여인수 전개로 행렬식 계산

14차시 · 성질과 근거

행연산이 행렬식에 미치는 영향

전치해도 행렬식이 같으므로 열에 대한 성질을 행에도 적용한다. 아래에서 c는 0이 아닌 실수이다.

• 두 행을 바꾸면 행렬식에 −1을 곱한다.
• 한 행을 c배하면 행렬식에 c를 곱한다.
• 한 행에 다른 행의 c배를 더하면 행렬식은 그대로이다.

삼각행렬에서는 여인수 전개를 반복할 때 대각성분을 고르는 항만 남으므로 행렬식은 대각성분의 곱이다.

14차시 · 예제

소거와 여인수 전개로 같은 값 얻기

\(R_3\leftarrow R_3-5R_1\), 다음 \(R_3\leftarrow R_3+4R_2\)를 적용한다. 행렬식을 바꾸지 않는 연산만 사용한다.

소거와 여인수 전개는 같은 행렬식을 구하는 두 방법이다. 0이 많은 행·열이나 삼각형 구조를 이용하면 계산량을 줄일 수 있다.

14차시 · 적용·논증

행 교환과 상수배를 빠뜨린 풀이

3×3 행렬 A에 다음 연산을 차례로 적용해 \(U=\operatorname{diag}(1,2,3)\)을 얻었다.

1. 1행과 2행 교환, 2행을 2배, 3행에 1행의 −5배를 더했다. det A를 구하시오.
2. “소거 후 대각성분의 곱이 6이므로 det A=6”이라는 풀이에서 빠진 내용을 설명하시오.

행과 열을 지워 여인수 구하기

원소를 누르면 지울 행·열, 남는 2×2 행렬, 위치 부호를 차례로 확인할 수 있습니다.

14차시 · 정의

전치행렬과 수반행렬의 정의

행과 열의 위치를 바꾼 \((A^T)_{ij}=a_{ji}\)를 전치행렬이라 한다. 여인수 행렬 \(C=(C_{ij})\)을 전치한 행렬을 수반행렬이라 한다.

예를 들어 C₁₂는 수반행렬의 2행 1열에 놓인다. 이 수업의 수반행렬은 여인수로 만드는 adjugate를 뜻한다.

14차시 · 성질과 근거

수반행렬을 곱하면 대각성분만 남는 이유

행렬곱의 (i,k)성분을 계산하면 \((A\operatorname{adj}A)_{ik}=\sum_j a_{ij}C_{kj}\)이다.

i=k이면 i행의 여인수 전개이다. i≠k이면 A의 k행을 i행으로 바꾼 행렬의 k행 전개가 된다. 그 행렬은 같은 두 행을 가지므로 행렬식이 0이다.

계산 애니메이션

여인수의 전치가 역행렬을 만드는 이유

14차시 · 성질과 근거

수반행렬에서 역행렬로

\(\det A\ne0\)이면 수반행렬의 두 곱 \(A\operatorname{adj}A=\operatorname{adj}A\,A=(\det A)I\)를 det A로 나눈다.

\(A=\begin{bmatrix}2&1\\1&3\end{bmatrix}\)에서는 \(\operatorname{adj}A=\begin{bmatrix}3&-1\\-1&2\end{bmatrix}\)이고 곱하면 5I가 된다. 5로 나누면 모든 입력벡터를 정확히 복원한다.

14차시 · 정의

특이행렬과 입력의 중복

역행렬이 없는 정사각행렬을 특이행렬이라 한다. 행렬식이 0인 것, 열이 일차종속인 것, 핵에 0이 아닌 벡터가 있는 것은 서로 동치이다.

이 A는 서로 다른 입력을 같은 출력으로 보낸다. 소거로 피벗이 부족한 행렬은 삼각형으로 만들었을 때 대각성분에 0이 남으므로 행렬식도 0이다.

14차시 · 성질과 근거

합성행렬의 행렬식

2×2 행렬 A의 두 열을 \(a_1,a_2\), B의 두 열을 u,v라 하자. 한 열씩의 선형성과 같은 열에서 값 0인 성질을 쓴다.

넓이 배율이 두 단계에서 곱해진다는 뜻이다. 이 곱셈 법칙은 모든 정사각행렬에 성립하며, A가 가역이면 \(\det(A^{-1})=1/\det A\)이다.

14차시 · 적용·논증

행렬식이 같으면 역행렬도 같을까

\(A=I_2\), \(B=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\)는 둘 다 행렬식이 1이다.

1. A⁻¹과 B⁻¹을 구하시오. 행렬식만으로 역변환을 정할 수 있는가?
2. 두 행렬의 넓이 배율이 같은데도 역변환이 다른 이유를 e₂의 상으로 설명하시오.