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질문
행렬식은 도형에서 무엇을 재는가?
행렬식에서 넓이·부피의 배율과 꼭짓점 순서가 바뀌는지 확인한다.
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부피와 방향
예상
\(A=\begin{bmatrix}2&3\\0&1\end{bmatrix}\)는 넓이를 몇 배로 만들까?
가로 확대와 전단이 함께 들어 있는 변환이다.
조작
전단 \(k\)와 세로 배율 \(s\)를 바꾸어 보자
\(A=\begin{bmatrix}1&k\\0&s\end{bmatrix}\)가 단위정사각형을 어떻게 바꾸는지 관찰한다.
det A1.0
넓이 배율1.0
꼭짓점 순서유지
발견
\(|\det A|\)는 넓이 배율, 부호는 기저의 향을 나타낸다
\(\det A>0\)
넓이는 \(|\det A|\)배이고 기저의 향을 유지한다.
\(\det A<0\)
넓이는 \(|\det A|\)배이고 기저의 향을 반전한다.
\(\det A=0\)
넓이나 부피가 0이 되는 퇴화한 변환이며 역변환이 존재하지 않는다.
개념
행렬식은 부호 있는 부피 배율이다
\(\det\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=ad-bc\)두 열벡터가 만드는 평행사변형의 부호 있는 넓이이다.
합성
\(\det(BA)=\det B\det A\)
가역성
\(A^{-1}\) 존재 \(\Longleftrightarrow\det A\ne0\)
3차원
부피는 \(|\det A|\)배
적용
두 벡터가 정하는 삼각형의 넓이
\(u=(3,1)\), \(v=(1,2)\)가 두 변인 삼각형이다.
\(\text{넓이}=\frac12|\det[u\ v]|\)
\(\frac12|3\cdot2-1\cdot1|=\frac52\)평행사변형 넓이 5의 절반이다.
확인
\(\det A=-3\)은 무엇을 뜻할까?
\(A\)는 \(2\times2\) 실수행렬이다.
마무리
행렬식의 세 가지 의미
- \(|\det A|\)는 넓이와 부피의 배율이다.
- \(\det A\)의 부호는 방향의 반전을 나타낸다.
- \(\det A=0\)이면 \(A\)는 특이행렬이며 역행렬이 없다.
행렬식은 부호 있는 넓이·부피의 배율이다.