정의와 조건

불변량과 변환의 비교

변환 전후에 값이 같은 양을 불변량이라 한다. “거리를 보존한다”는 말은 특정 선분 하나가 아니라 모든 두 점 \(p,q\)에 대해 아래 등식이 성립한다는 뜻이다.

\[\|F(p)-F(q)\|=\|p-q\|\]

이 조건을 만족하는 변환을 등거리변환이라 한다. 이번 차시에서는 거리, 각, 평행성, 중점이 어느 변환에서 보존되는지 정의와 계산으로 판정한다.

정의와 조건

직교행렬과 닮음변환

실수 정사각행렬 \(Q\)가 \(Q^TQ=I\)를 만족하면 직교행렬이다. 이는 열들이 서로 직교하는 단위벡터라는 뜻이며 \(Q^{-1}=Q^T\)이다.

\[F(x)=Qx+b,\qquad G(x)=kQx+b\quad(k>0)\]

첫 식은 등거리변환을 나타낸다. 모든 거리를 같은 양수 \(k\)배로 바꾸는 둘째 식을 닮음변환이라 한다. \(b\)는 모든 점에 공통으로 더하는 평행이동 벡터이다.

근거와 유도

거리 보존을 행렬식이 아닌 내적으로 확인

\[\|F(p)-F(q)\|^2=(p-q)^TQ^TQ(p-q)=\|p-q\|^2\]

두 점의 차이를 취하면 평행이동 \(b\)가 사라진다. 또 \((Qu)^T(Qv)=u^Tv\)이므로 두 벡터의 내적과 각도 유지된다.

\[S=\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix},\quad R=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix},\quad S^TS=R^TR=I\]

따라서 y축 대칭과 90° 회전은 모두 등거리변환이다. 반면 \(\det A=1\)이라는 조건만으로 거리 보존을 결론낼 수는 없다.

정의와 조건

아핀변환과 가역성

아핀변환은 \(F(x)=Ax+b\) 꼴의 변환이다. 이 수업에서 보존 성질을 비교할 때에는 \(\det A\ne0\)인 가역 아핀변환으로 제한한다. \(b=0\)이면 가역 선형변환이다.

\[F((1-t)p+tq)=(1-t)F(p)+tF(q)\quad(t\in\mathbb R)\]

\(t=\tfrac12\)를 넣으면 중점 보존을 얻는다. 같은 \(t\)가 그대로 남으므로 직선 위 점의 비도 보존된다. 방향벡터 \(u\)가 같은 두 직선은 공통 방향 \(Au\ne0\)를 가져 평행성이 유지된다.

적용과 논증

전단변환은 무엇을 보존하는가?

\(F(x,y)=(x+y,y)\), \(p=(0,0),q=(0,1)\)이다.

  1. \(p,q\) 사이의 거리와 두 상 사이의 거리를 계산하라. 등거리변환인가?
  2. 중점이 보존됨을 이 두 점에서 확인하고, 임의의 두 점에서도 성립하는 이유를 식으로 설명하라.
  3. “행렬식이 1이면 등거리변환이다”라는 주장에 대해 판정하라.
풀이와 판단 근거
\[\|q-p\|=1,\quad\|F(q)-F(p)\|=\sqrt2,\quad\det\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}=1\]

길이가 달라지므로 등거리가 아니다. 중점 \((0,\tfrac12)\)의 상은 \((\tfrac12,\tfrac12)\)로 두 상의 중점이다. 일반적인 중점 보존은 아핀 항등식에서 \(t=\tfrac12\)를 넣으면 증명된다. 행렬식 1은 방향 있는 넓이의 보존을 뜻하므로 거리 보존의 충분조건이 아니다.

정의와 조건

동차좌표와 사영변환 · 선택

동차좌표 \([x:y:w]\)는 영벡터가 아닌 세 수를 0이 아닌 공통 배수까지 같은 점으로 보는 표기이다. \(w\ne0\)이면 보통 좌표는 \((x/w,y/w)\)이다.

\[[X:Y:W]=H[x:y:1],\qquad \det H\ne0\]

가역인 \(3\times3\) 행렬 \(H\)가 동차좌표에 작용하는 변환을 사영변환이라 한다. 일반 좌표로 계산할 때는 \(W\ne0\)인 점만 사용한다. 직선 위의 관계는 보존하지만 평행성과 중점은 일반적으로 보존하지 않는다.

조작

정의한 다섯 변환의 격자 비교

각 버튼의 식에서 가역성과 평행이동 항을 확인하고, 앞에서 증명한 보존 성질이 그림에도 나타나는지 비교한다.

현재 변환

등거리변환

\(\mathbf{x}'=Q\mathbf{x}+\mathbf{b},\ Q^TQ=I\)

대응하는 선분의 길이와 각을 비교해 봅시다.

다섯 변환 비교 그림회색 점선은 원래 격자이고 색 선은 선택한 변환 결과입니다.

적용과 논증

중점이 보존되지 않는 사영변환 · 선택

\[F(x,y)=\left(\frac{x}{x+1},\frac{y}{x+1}\right),\qquad x\ne-1\]

\(p=(0,0),q=(2,0)\)와 그 중점 \(m=(1,0)\)을 사용한다. \(F(m)\)과 두 상의 중점을 비교하라. 이 계산이 “사영변환은 중점을 보존한다”를 반박하는 이유는 무엇인가?

풀이와 판단 근거
\[F(p)=(0,0),\quad F(q)=(2/3,0),\quad F(m)=(1/2,0)\ne(1/3,0)\]

세 점의 분모가 모두 0이 아니고 \(H=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&0&1\end{bmatrix}\)는 가역이다. 따라서 허용된 사영변환 안에서 나온 반례이다. 한 사례에서 우연히 중점이 유지되어도 보존 정리를 증명할 수는 없지만, 위 반례 하나면 “모든 점에서 보존”이라는 주장을 반박한다.

정리

보존 조건과 판정의 근거

  1. 등거리: 모든 두 점의 거리를 보존한다. \(Q^TQ=I\)로 검산한다.
  2. 닮음: 모든 거리가 같은 양수배가 된다. 각과 길이비는 유지된다.
  3. 가역 아핀: 선형결합의 계수 합이 1인 식을 보존하므로 중점과 평행성이 유지된다.
  4. 사영변환의 일반 좌표식에는 분모가 생긴다. 중점·평행성까지 일반화하면 반례가 나온다.