등거리
\(Qx+b,\ Q^TQ=I\)
거리와 각을 보존한다.
질문
각 변환은 어떤 기하적 성질을 보존할까?
허용한 변환에 따라 보존되는 성질이 달라진다.
거리각평행중점한 직선 위
예상
사영변환에서도 항상 보존되는 성질은 무엇일까?
평면 도형을 렌즈 왜곡이 없는 이상적 핀홀 카메라로 촬영한 경우이다.
조작
한 격자에 적용한 다섯 변환의 비교
버튼을 바꾸며 원점, 평행선, 각을 관찰한다.
현재 변환
등거리변환
\(x'=Qx+b,\ Q^TQ=I\)
대응하는 선분의 길이와 각을 비교한다.
발견
변환군의 포함관계와 불변량
등거리
거리와 각
→
닮음
각과 길이비
→
가역 아핀
평행성과 중점
→
사영
직선과 교차비
불변량은 주어진 변환군의 모든 변환이 보존하는 성질이다.
개념
식과 보존 성질을 함께 구분한다
닮음
\(kQx+b,\ k>0\)
각과 길이비를 보존한다.
가역 아핀
\(Ax+b,\ A\in\mathrm{GL}(n)\)
평행성과 한 직선 위의 비를 보존한다.
사영
\([x':y':w']=H[x:y:w],\ H\in\mathrm{GL}(3)\)
직선, 결합관계, 교차비를 보존한다.
일반선형군
\(x'=Ax,\ A\in\mathrm{GL}(n)\)
아핀 불변량에 더해 원점을 고정한다.
\(\text{등거리}\subset\text{닮음}\subset\text{가역 아핀}\subset\text{사영}\) · \(\mathrm{GL}(n)\subset\text{가역 아핀}\)
적용
사영변환에서 보존되는 관계 판정
평행성은 보존되지 않지만 결합관계와 교차비는 보존된다.
성립하지 않는 추론
사영영상에서 평행하므로 원래 평면에서도 평행하다는 주장
성립하는 추론
한 직선 위의 네 점은 사영변환 후에도 한 직선 위에 있다.
\((A,B;C,D)=\dfrac{AC/BC}{AD/BD}\)방향 있는 길이로 정의한 네 점의 교차비는 사영변환에서도 같다.
확인
다음 중 중점을 모두 보존하는 가장 큰 변환류는?
각 선택은 그 변환 전체에서 보장되는 성질을 뜻한다.
마무리
변환의 종류와 불변량
- 등거리변환은 거리, 닮음변환은 각과 길이비를 보존한다.
- 가역 아핀변환은 평행성과 중점, 사영변환은 결합관계와 교차비를 보존한다.
- 일반선형군은 가역 아핀변환 중 원점을 고정하는 경우이다.
변환군의 범위가 보존되는 성질의 범위를 결정한다.