\(A(1,1)=3(1,1)\)
고윳값은 3이다.
질문
\(Av\)가 \(v\)와 같은 직선 위에 놓이는 방향은 무엇일까?
고유방향에서는 행렬이 벡터에 스칼라배만 적용한다.
예상
\(A=\operatorname{diag}(2,\frac12)\)에서 고윳값 2인 벡터는?
0이 아닌 벡터만 고유벡터가 될 수 있다.
조작
\(A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}\)의 고유방향 탐색
\(v\)를 돌려 \(v\)와 \(Av\)가 같은 직선에 놓이는 각을 찾는다.
\(v\)와 \(Av\)의 방향을 비교한다.
발견
고유방향마다 하나의 배율이 대응한다
\(A(1,-1)=1(1,-1)\)
고윳값은 1이다.
\(v\in E_\lambda\)이면 \(Av=\lambda v\in E_\lambda\)이다. 이처럼 \(A\)가 내부로 보내는 부분공간을 불변부분공간이라 한다.
개념
고유벡터와 고윳값의 정의
\(Av=\lambda v,\quad v\ne0\)\(v\)는 고유벡터이고 \(\lambda\)는 그 고윳값이다. \(\lambda=0\)도 가능하다.
\(\det(A-\lambda I)=0\)\((A-\lambda I)v=0\)이 영이 아닌 해를 가지는 조건이다.
적용
반복하면 고유성분의 배율이 거듭제곱된다
\(x=c_1v_1+c_2v_2\)이고 두 고유벡터가 기저라고 하자.
\(A^nx=c_1\lambda_1^nv_1+c_2\lambda_2^nv_2\)
\(|\lambda|<1\)
성분의 감쇠
\(|\lambda|=1\)
크기의 유지
\(|\lambda|>1\)
성분의 성장
확인
\(Av=-2v\)는 무엇을 뜻할까?
\(v\)는 0이 아닌 실수벡터이다.
마무리
고유벡터와 고유공간
- \(Av=\lambda v\)에서 \(v\ne0\)이어야 한다.
- \(\lambda\)는 고유방향의 배율과 반전을 나타낸다.
- 반복에서는 \(\lambda^n\)이 장기 거동을 결정한다.
다음 차시에서는 고유벡터들이 기저를 이루는 조건을 다룬다.