정의와 조건

고윳값과 고유벡터

\(A\in\mathbb R^{n\times n}\)라 하자. 0이 아닌 실수벡터 \(v\)와 실수 \(\lambda\)가 아래 식을 만족하면 \(v\)를 고유벡터, \(\lambda\)를 그 고윳값이라 한다.

\[Av=\lambda v,\qquad v\ne0\]

\(\lambda>0\)이면 방향이 같고, \(\lambda<0\)이면 반대가 된다. \(\lambda=0\)도 허용하며 이때 출력은 영벡터이다. 입력 \(v=0\)은 모든 \(\lambda\)에서 등식을 만족하므로 제외한다.

정의와 조건

고유공간과 특성다항식

\[E_\lambda=\ker(A-\lambda I)=\{v:Av=\lambda v\},\qquad \chi_A(t)=\det(tI-A)\]

고유공간 \(E_\lambda\)는 해당 고유벡터들과 영벡터를 모은 부분공간이다. 특성다항식은 행렬식 \(\det(tI-A)\)을 변수 \(t\)의 다항식으로 본 것이다.

고유공간은 영벡터를 포함하지만 고유벡터는 영벡터가 아니다. 이번 차시는 실수 고윳값만 구하며, 복소수 범위는 다음 차시에서 구별한다.

근거와 유도

행렬식으로 고윳값을 구하는 이유

\[Av=\lambda v\iff(A-\lambda I)v=0\]

정사각행렬의 동차방정식이 0이 아닌 해를 갖는 것은 계수행렬이 가역이 아닐 때이고, 이는 행렬식이 0인 것과 동치이다.

\[\lambda\text{가 고윳값}\iff\det(A-\lambda I)=0\iff\chi_A(\lambda)=0\]

고윳값만 구하면 아직 고유벡터를 구한 것이 아니다. 각 근을 \((A-\lambda I)v=0\)에 넣어 해공간을 구해야 한다.

적용과 논증

고유벡터와 영벡터를 구별하는 계산

\[B=\begin{bmatrix}-2&0\\0&0\end{bmatrix}\]

\((1,0),(0,1),(1,1),(0,0)\)을 각각 판정하고, \(B\)의 두 고유공간을 집합으로 적어라. “출력이 0이면 고유벡터가 아니다”라는 주장은 옳은가?

풀이와 판단 근거

\((1,0)\)은 고윳값 \(-2\), \((0,1)\)은 고윳값 0의 고유벡터이다. \((1,1)\)은 출력 \((-2,0)\)이 자신의 실수배가 아니고, 영벡터는 정의에서 제외된다.

\[E_{-2}=\{(s,0):s\in\mathbb R\},\qquad E_0=\{(0,t):t\in\mathbb R\}\]

출력이 아니라 입력이 0인지 확인해야 한다. \((0,1)\)이 제시한 주장의 반례이다.

조작

벡터를 돌리며 고유벡터 방향을 찾아봅시다

\(A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}\)이다. \(\mathbf{v}\)의 각을 바꾸면 \(A\mathbf{v}\)는 어떻게 될까? 두 벡터가 같은 직선에 놓이는 각을 찾아봅시다.

20°
\(\mathbf{v}\)와 \(A\mathbf{v}\)의 방향을 비교해 봅시다.
고유벡터 방향 탐색회색 입력 화살표와 진한 출력 화살표를 비교합니다. 𝐯A𝐯

계산 예제

고유공간까지 구하는 연속 계산

\[A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix},\quad\chi_A(t)=(t-2)^2-1=(t-3)(t-1)\]
\[\begin{aligned}\lambda=3:&\quad -x+y=0,\quad E_3=\operatorname{span}\{(1,1)\}\\\lambda=1:&\quad x+y=0,\quad E_1=\operatorname{span}\{(1,-1)\}\end{aligned}\]

\(A(1,1)^T=3(1,1)^T\), \(A(1,-1)^T=(1,-1)^T\)로 검산한다. 그림에서 찾은 각도는 이 해공간의 방향과 일치한다.

근거와 유도

한 고유벡터에 반복 적용

\(Av=\lambda v\)이고 \(n\)이 양의 정수이면 선형성 때문에 매번 같은 배수가 한 번 더 곱해진다.

\[A^2v=A(\lambda v)=\lambda Av=\lambda^2v,\qquad A^nv=\lambda^nv\]

따라서 \(|\lambda|<1\)이면 이 성분은 줄고, \(|\lambda|>1\)이면 커진다. 음의 고윳값에서는 홀수 번과 짝수 번의 화살표 방향이 다르다. 일반 벡터에 이 방법을 쓰려면 먼저 고유벡터들의 선형결합으로 표현할 수 있어야 한다.

적용과 논증

반복하면 항상 절댓값이 가장 큰 고윳값의 고유벡터 방향이 남는가?

위 행렬 \(A\)에서 \(v_+=(1,1),v_-=(1,-1)\)이다.

  1. \(x=(2,0)\)를 두 고유벡터로 분해하고 \(A^nx\)를 구하라.
  2. \(x=(1,-1)\)에서 같은 계산을 하라.
  3. “고윳값 3이 가장 크므로 모든 0이 아닌 입력은 반복하면 그 방향을 따른다”에서 빠진 조건을 찾아라.
풀이와 판단 근거
\[(2,0)=v_++v_-,\quad A^n(2,0)^T=3^nv_++v_-,\qquad A^nv_-=v_-\]

첫 입력은 3의 성분이 상대적으로 우세해지지만 둘째 입력에는 그 성분이 처음부터 없다. 최대 절댓값의 고윳값이 유일하다는 조건과 함께, 그 고유벡터 성분의 계수가 0이 아니라는 조건이 필요하다. “방향을 따른다”는 말은 벡터 자체의 수렴과 구별해야 한다.

정리

고윳값 계산에서 남겨야 할 기록

  1. 정의: \(Av=\lambda v\), \(v\ne0\). 고윳값 0은 허용한다.
  2. 근 계산: \(\chi_A(t)=0\)을 푼다.
  3. 해공간 계산: 각 \(\lambda\)마다 \((A-\lambda I)v=0\)을 풀고 원식으로 검산한다.
  4. 다음 차시에는 이 고유벡터들로 공간 전체의 기저를 만들 수 있는지 판정한다.