대각행렬
\(A=\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}\)
\(\chi_A(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda-1)\)
독립인 고유벡터가 두 개이므로 \(\mathbb R\)에서 대각화된다.
정의와 조건
대각화와 고유벡터 기저
주대각선 밖의 성분이 모두 0인 행렬을 대각행렬이라 한다. 정사각행렬 \(A\)에 대해 가역행렬 \(P\)와 대각행렬 \(D\)가 존재하여 아래 식을 만족하면 \(A\)가 대각화 가능하다고 한다.
\[P^{-1}AP=D\qquad\text{또는}\qquad A=PDP^{-1}\]
계산에 실수만 허용하는지 복소수까지 허용하는지를 함께 지정한다. \(P\)의 열은 기저를 이뤄야 하므로 0벡터나 종속인 열을 넣을 수 없다.
근거와 유도
대각화 조건이 고유기저인 이유
\[AP=PD\iff[Ap_1\ \cdots\ Ap_n]=[\lambda_1p_1\ \cdots\ \lambda_np_n]\]
가역인 \(P\)의 각 열 \(p_j\)는 \(Ap_j=\lambda_jp_j\)를 만족한다. 반대로 독립인 고유벡터 \(n\)개를 열에 놓으면 \(AP=PD\)이고 \(P^{-1}\)을 곱할 수 있다.
\[A\text{가 대각화 가능}\iff\text{독립인 고유벡터 }n\text{개가 존재}\]
정의와 조건
대수적 중복도와 기하적 중복도
특성다항식에서 \((t-\lambda)\)가 반복되는 횟수를 \(\lambda\)의 대수적 중복도라 한다. 고유공간 \(E_\lambda\)의 차원을 기하적 중복도라 한다.
\[\chi_A(t)=(t-2)^2(t+1)\quad\Rightarrow\quad 2\text{의 대수적 중복도는 }2\]
반복된 근을 발견해도 고유공간 차원은 따로 계산해야 한다. 서로 다른 고유공간에서 고른 독립인 벡터들을 합쳐 기저가 되는지를 조사한다. 근이 모두 허용한 수의 범위에 있고 차원의 합이 \(n\)이면 대각화할 수 있다.
적용과 논증
같은 특성다항식, 다른 대각화 판정
\[A=\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix},\qquad J=\begin{bmatrix}2&1\\0&2\end{bmatrix}\]
두 특성다항식과 \(E_2\)를 각각 구하라. 두 행렬이 모두 대각화된다고 주장한 학생은 어느 단계에서 무엇을 혼동했는가?
풀이와 판단 근거
\[\chi_A(t)=\chi_J(t)=(t-2)^2,\quad\ker(A-2I)=\mathbb R^2,\quad\ker(J-2I)=\{(x,0)\}\]
\(A\)는 독립인 고유벡터가 둘이므로 대각화 가능하지만 \(J\)의 고유공간 차원은 1이어서 불가능하다. 근이 두 번 반복된다는 것은 독립인 고유벡터가 두 개 있다는 뜻이 아니다.
근거와 유도
서로 다른 두 고윳값이 주는 독립성
\(Av_1=\lambda_1v_1\), \(Av_2=\lambda_2v_2\), \(\lambda_1\ne\lambda_2\)라 하자. \(c_1v_1+c_2v_2=0\)을 가정한다.
\[c_1\lambda_1v_1+c_2\lambda_2v_2=0,\qquad c_1(\lambda_1-\lambda_2)v_1=0\]
첫 관계에 \(A\)를 적용한 식에서 원래 식의 \(\lambda_2\)배를 뺐다. \(v_1\ne0\)이므로 \(c_1=0\)이고 이어 \(c_2=0\)이다. 따라서 2×2 행렬에 서로 다른 두 실수 고윳값이 있으면 실수에서 대각화할 수 있다.
정의와 조건
복소수 범위에서의 고유벡터 · 선택
복소수는 \(a+bi\) 꼴의 수이며 \(i^2=-1\)이다. 벡터와 행렬의 성분에 이 수를 허용해도 행렬곱과 \(Av=\lambda v\)의 정의는 그대로 쓴다.
\[R=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix},\quad\chi_R(t)=t^2+1=(t-i)(t+i)\]
실수 범위에서는 근이 없어 실수 고유벡터 기저를 만들 수 없다. 복소수 범위에서는 서로 다른 두 근이 있으므로 가능하다. 이는 실수평면에 새 고유직선이 생긴다는 뜻이 아니다.
조작
네 행렬의 해공간과 그림 비교
먼저 각 행렬의 판정을 적고 버튼으로 확인한다. 초록선은 실수 고유벡터 방향만 표시하며, 무한히 많은 방향은 일부만 그린다.
적용과 논증
고유벡터 두 개와 독립인 두 개의 차이
\(J=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\)에 대해 \(v_1=(1,0),v_2=(2,0)\)은 모두 고유벡터이다. \(P=[v_1\ v_2]\)로 대각화하려는 풀이가 실패하는 이유를 계산으로 밝혀라.
선택: 90° 회전의 복소 고유벡터 \(w_+=(1,-i),w_-=(1,i)\)를 직접 검산하라.
풀이와 판단 근거
\[P=\begin{bmatrix}1&2\\0&0\end{bmatrix},\qquad\det P=0\]
두 벡터는 \(v_2=2v_1\)로 종속이므로 \(P^{-1}\)이 없다. 필요한 것은 고유벡터의 단순 개수가 아니라 독립인 벡터의 개수이다.
\[Rw_+=(i,1)=iw_+,\quad Rw_-=(-i,1)=-iw_-,\quad\det[w_+\ w_-]=2i\ne0\]
정리
대각화 판정의 순서
- 허용할 수의 범위를 밝히고 특성다항식의 근을 구한다.
- 서로 다른 고윳값마다 고유공간을 풀어 차원을 센다.
- 합쳐서 독립인 고유벡터 \(n\)개를 얻으면 \(P\)를 만든다.
- 반복근만으로 가능·불가능을 결론내리지 않는다. 다음 차시에는 만든 \(P,D\)로 좌표와 거듭제곱을 계산한다.