대각행렬
\(A=\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}\)
\(\chi_A(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda-1)\)
독립인 고유벡터가 두 개이므로 \(\mathbb R\)에서 대각화된다.
질문
고윳값이 존재하면 항상 대각화 가능할까?
대각화에는 기저를 이루는 선형 독립 고유벡터가 필요하다.
행렬
A
?
고유기저
P
→
대각행렬
D
예상
고윳값이 중근이면 대각화가 불가능할까?
\(2I\)와 \(\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\)를 비교한다.
조작
네 행렬의 고유방향을 비교해 보자
원과 초록 고유직선이 어떻게 바뀌는지 관찰한다.
발견
같은 특성다항식도 고유공간은 다를 수 있다
\(E_\lambda=\ker(A-\lambda I)=\{v:Av=\lambda v\}\)는 고윳값 \(\lambda\)의 고유공간이다.
\(2I\)
\(\chi(\lambda)=(\lambda-2)^2\), \(E_2=\mathbb R^2\)이다.
독립인 고유벡터 두 개를 선택할 수 있다.
\(J=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\)
\(\chi(\lambda)=(\lambda-1)^2\), \(E_1=\operatorname{span}\{(1,0)\}\)이다.
고유벡터가 한 방향뿐이다. 이런 형태를 조르당 블록이라 한다.
대각화 가능 여부는 중근 자체가 아니라 고유공간의 차원으로 판정한다.
개념
기저를 이룰 만큼 고유벡터가 필요하다
벡터의 좌표와 계수로 허용하는 수의 범위를 스칼라체라 한다. 여기서는 \(\mathbb R\)과 \(\mathbb C\)를 비교한다.
\(A=PDP^{-1}\iff P\text{의 열이 고유벡터 기저}\)\(n\times n\) 행렬 \(A\)와 선택한 스칼라체에서 판단한다.
독립인 고유벡터 \(n\)개
서로 다른 고윳값 \(n\)개
중근이어도 가능할 수 있음
적용
90° 회전의 대각화 가능 여부는 스칼라체에 따라 달라진다
\(R=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}\)의 특성다항식은 \(\lambda^2+1\)이다.
실수근이 없다
실수 고유벡터가 없어 대각화되지 않는다.
\(\lambda=\pm i\)
서로 다른 두 값이므로 \(\mathbb C\)에서 대각화된다.
\(R=P\operatorname{diag}(i,-i)P^{-1}\)\(P\)의 열은 복소 고유벡터이다.
확인
90° 회전행렬의 대각화 가능 여부는?
실수와 복소수에서의 판정을 함께 말한다.
마무리
대각화 전에 세 가지를 점검한다
- 어느 수의 체에서 보는지 정한다.
- 고유공간 차원의 합이 \(n\)인지 센다.
- 서로 다른 고윳값 \(n\)개는 충분조건이다.
대각화 가능 여부는 고유벡터 기저의 존재로 판정한다.