\(A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}\)
각 출력 성분이 두 입력 성분에 의존한다.
질문
어떤 기저에서 선형변환의 행렬이 대각행렬이 될까?
고유벡터를 기저로 선택하면 각 좌표 성분이 독립적으로 변한다.
\(v_1=(1,1),\ v_2=(1,-1)\)이면 \(Av_1=3v_1\), \(Av_2=v_2\)이다.
\(D=\operatorname{diag}(3,1)\)
각 좌표가 독립적으로 늘어난다.
예상
\(P^{-1}AP\)에서 오른쪽 \(P\)는 무엇을 할까?
\(P\)의 열은 표준좌표로 쓴 고유벡터이다.
조작
고유기저 \(B\)에서 \([x]_B=(c_1,c_2)\)를 움직여 보자
\(B=(v_1,v_2)\)는 순서 있는 기저이고, \(P=[v_1\ v_2]\)이다.
\(x=P[x]_B\)
발견
고유기저에서는 각 좌표 성분이 독립적으로 변한다
\(A(x,y)=(2x+y,x+2y)\)
각 출력 성분이 두 입력 성분에 의존한다.
\(D(c_1,c_2)=(3c_1,c_2)\)
각 출력 성분이 대응하는 입력 성분에만 의존한다.
대각행렬은 각 고유성분을 독립적으로 늘린다.
개념
\(P^{-1}AP\)의 좌표변환 순서
B-좌표
\([x]_B\)
\(P\)
표준좌표
\(x\to Ax\)
\(P^{-1}\)
B-좌표
\([Ax]_B\)
\(P^{-1}AP=D\)\(Av_j=\lambda_jv_j\)이고 \(P=[v_1\ \cdots\ v_n]\)이면 \(D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\)이다.
적용
\(A^n\)은 \(D^n\)으로 바꾸면 단순해진다
\(A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}\), \(D=\operatorname{diag}(3,1)\)을 사용한다.
\(A^n=PD^nP^{-1}\)
\(A^3=\begin{bmatrix}14&13\\13&14\end{bmatrix}\)
확인
\(P^{-1}AP=D\)에서 \(A\)를 나타낸 식은?
\(P\)는 가역행렬이다.
마무리
대각화는 고유기저에서의 행렬 표현이다
- \(P\)의 열은 순서 있는 고유벡터 기저이다.
- \(P^{-1}AP\)는 \(A\)의 고유기저 표현 \(D\)이다.
- \(A^n=PD^nP^{-1}\)로 반복 계산이 단순해진다.
\(A\)를 고유기저로 표현하면 대각행렬 \(D\)가 된다.