정의와 조건

고유기저 좌표와 기저변환행렬

\(B=(v_1,\ldots,v_n)\)를 순서가 있는 고유벡터 기저라 하자. \(x=\sum c_jv_j\)에서 계수를 모은 열벡터를 \([x]_B\)라 한다. 기저벡터의 표준좌표를 열에 놓은 행렬이 \(P\)이다.

\[P=[v_1\ \cdots\ v_n],\qquad x=P[x]_B,\qquad[x]_B=P^{-1}x\]

\(P\)는 B좌표를 표준좌표로, \(P^{-1}\)은 표준좌표를 B좌표로 바꾼다. 행렬곱의 오른쪽부터 적용한다.

근거와 유도

각 열의 등식에서 대각화 식으로

\[AP=[Av_1\ \cdots\ Av_n]=[\lambda_1v_1\ \cdots\ \lambda_nv_n]=PD\]
\[D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n),\qquad P^{-1}AP=D\]

왼쪽에 \(P^{-1}\)을 곱했다. \(P\)의 열과 \(D\)의 고윳값은 같은 순서여야 한다. 대각화 식은 하나의 변환을 서로 다른 좌표에서 표현하는 식이다.

계산 예제

좌표를 구한 뒤 변환하기

\[A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix},\quad P=\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix},\quad P^{-1}=\tfrac12P,\quad D=\begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix}\]
\[x=\binom20,\quad[x]_B=P^{-1}x=\binom11,\quad[Ax]_B=D\binom11=\binom31\]

표준좌표로 돌아오면 \(Ax=P(3,1)^T=(4,2)^T\)이다. 원래 행렬을 직접 곱한 값과 비교한다.

개념

\(P^{-1}AP\)의 좌표변환 순서

B-좌표

\([\mathbf{x}]_B\)

\(P\)
표준좌표

\(\mathbf{x}\to A\mathbf{x}\)

\(P^{-1}\)
B-좌표

\([A\mathbf{x}]_B\)

\(P^{-1}AP=D\)\(A\mathbf{v}_j=\lambda_j\mathbf{v}_j\)이고 \(P=[\mathbf{v}_1\ \cdots\ \mathbf{v}_n]\)이면 \(D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\)입니다.

조작

고유기저 좌표 \([\mathbf{x}]_B=(c_1,c_2)\)를 움직여 봅시다

\(v_1=(1,1),v_2=(1,-1)\), \(P=[v_1\ v_2]\)이다. 한 좌표만 바꿀 때 출력의 어느 고유벡터 성분이 달라지는지 비교한다.

0.8
0.4
\(\mathbf{x}=P[\mathbf{x}]_B\)
고유기저 좌표 조작점선은 두 고유벡터 방향이고 회색 입력벡터와 진한 출력벡터를 보여 줍니다. 𝐱A𝐱

적용과 논증

열 순서를 바꾸었을 때의 오류 진단

앞 예제의 \(P\)에서 두 열을 맞바꾼 \(P'=[v_2\ v_1]\)를 사용하면서 \(D=\operatorname{diag}(3,1)\)은 그대로 둔 학생이 있다.

  1. 올바른 \(D'\)를 구하고 \(AP'=P'D'\)를 열별로 설명하라.
  2. \(v_1\)을 \(2v_1\)로 바꾸되 열 순서를 유지하면 \(D\)도 달라지는가? 이유를 써라.
풀이와 판단 근거
\[D'=\operatorname{diag}(1,3),\qquad AP'=[Av_2\ Av_1]=[v_2\ 3v_1]=P'D'\]

벡터의 순서가 고윳값 순서를 결정한다. 한 열을 0이 아닌 수로 늘리는 것은 \(A(2v_1)=3(2v_1)\)이므로 고윳값을 바꾸지 않는다. 따라서 두 번째 경우에는 \(P\)와 좌표계수는 달라져도 \(D\)는 그대로이다.

근거와 유도

행렬 거듭제곱의 중간 좌표변환

\[A^2=(PDP^{-1})(PDP^{-1})=PD^2P^{-1}\]
\[A^n=PD^nP^{-1}=\frac12\begin{bmatrix}3^n+1&3^n-1\\3^n-1&3^n+1\end{bmatrix}\quad(n\ge0)\]

곱셈의 순서를 바꾼 것이 아니라, 서로 이웃한 \(P^{-1}P=I\)를 계산했다. \(n=0\)이면 \(I\), \(n=1\)이면 원래 \(A\)가 되는지 검산한다.

적용

\(D^n\)으로 바꾸면 반복 계산이 얼마나 쉬워질까?

\(A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}\), \(D=\operatorname{diag}(3,1)\)을 사용합니다.

3
\(A^n=PD^nP^{-1}\)
\(A^3=\begin{bmatrix}14&13\\13&14\end{bmatrix}\)

적용과 논증

거듭제곱 공식의 검산과 일반화

\(B=\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}\)이다. 고윳값은 2와 1이다.

  1. 각 고유벡터를 구해 \(P,D\)를 구성하라.
  2. \(B^n\)을 구하고 \(n=0,1,2\)에서 검산하라.
  3. 고유벡터를 정규직교화하면 항상 같은 대각화가 유지되는가? 이 예제로 판단하라.
풀이와 판단 근거
\[P=\begin{bmatrix}1&1\\0&-1\end{bmatrix},\quad P^{-1}=P,\quad B^n=\begin{bmatrix}2^n&2^n-1\\0&1\end{bmatrix}\]

\(n=0,1,2\)는 각각 \(I,B,\begin{bmatrix}4&3\\0&1\end{bmatrix}\)이다. 첫 벡터 \((1,0)\)에 수직이 되도록 둘째에서 성분을 빼면 \((0,-1)\)이 되지만 \(B(0,-1)^T=(-1,-1)^T\)은 그 실수배가 아니다. 임의의 대각화에서 고유벡터를 직교화해도 된다고 할 수 없다.

정리

대각화 계산의 세 가지 검산

  1. \(P\)는 가역인가? 열들이 정말 고유벡터인가?
  2. \(AP=PD\)에서 각 열과 고윳값의 순서가 맞는가?
  3. 거듭제곱 공식이 \(n=0,1\)과 직접 곱셈 결과를 만족하는가?