정의와 조건
대칭행렬과 이차형식
실수 정사각행렬 \(A\)가 \(A^T=A\)이면 대칭행렬이다. 이 행렬로 정의한 이차형식은 \(q(v)=v^TAv\)이다.
\[A=\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix},\quad v=\binom xy,\quad q(v)=ax^2+2bxy+cy^2\]
\(cv\)를 넣으면 값이 \(c^2\)배가 되므로 방향만 비교하려면 길이를 고정해야 한다. 이를 위해 단위벡터에서 비교하거나 다음의 몫을 사용한다.
정의와 조건
레일리 몫과 단위벡터
\[R_A(v)=\frac{v^TAv}{v^Tv},\qquad v\ne0\]
이 값을 레일리 몫이라 한다. 분모는 길이의 제곱이다. \(c\ne0\)이면 분자·분모가 모두 \(c^2\)배여서 \(R_A(cv)=R_A(v)\)이다.
단위벡터에서는 \(R_A(v)=q(v)\)이다. 이번 차시는 실수 대칭행렬에서 이 값의 범위와 등호 조건을 고유기저로 설명한다.
22차시 · 대칭행렬
단위벡터 중 \(\mathbf{v}^\mathsf TA\mathbf{v}\)를 가장 크게 만드는 방향은?
\[A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix},\qquad q(\mathbf{v})=\mathbf{v}^\mathsf TA\mathbf{v}\]
벡터의 길이는 1로 고정하고 방향만 바꿔 봅시다.
직접 조작
\(\mathbf{v}=(\cos\theta,\sin\theta)\)의 방향을 바꿔 봅시다
방향에 따른 \(q(\theta)\)
\(q(\mathbf{v})=2.64\)\(\mathbf{v}\)와 \(A\mathbf{v}\) 사이의 각도 18.9°고유벡터 방향 아님
계산 예제
미분 없이 구하는 예제의 범위
\[v=(\cos\theta,\sin\theta)^T,\quad q(v)=2+2\sin\theta\cos\theta=2+\sin2\theta\]
\(-1\le\sin2\theta\le1\)이므로 \(1\le q(v)\le3\)이다. \(0\le\theta<180^\circ\)에서 45°가 최대, 135°가 최소를 준다.
\[q_+=\tfrac1{\sqrt2}\binom11,\quad Aq_+=3q_+,\qquad q_-=\tfrac1{\sqrt2}\binom{1}{-1},\quad Aq_-=q_-\]
그림에서 읽은 극값 방향을 원래 행렬곱으로 검산했다. 이제 이 결과가 실수 대칭행렬 전체에서 성립하는 근거를 확인한다.
근거와 유도
대칭성이 고유벡터의 직교성을 주는 지점
\(Au=\lambda u\), \(Av=\mu v\), \(\lambda\ne\mu\)라 하자. 대칭성 \(A^T=A\)는 내적 사이에서 \(A\)를 옮길 때 쓰인다.
\[\lambda u^Tv=(Au)^Tv=u^TA^Tv=u^TAv=\mu u^Tv\]
따라서 \((\lambda-\mu)u^Tv=0\)이고 \(u^Tv=0\)이다. 같은 고윳값에서는 이 논증으로 직교성을 얻지 못한다. 같은 고유공간 안에서 기저를 직교화해야 한다.
정의와 조건
실수 대칭행렬의 스펙트럼 정리
스펙트럼 정리: 모든 실수 대칭행렬에는 실수 고유벡터로 이루어진 정규직교기저가 존재한다. 따라서 아래 분해가 가능하다.
\[A=QDQ^T,\quad Q^TQ=I,\quad D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\]
이 정리는 고윳값의 실수성뿐 아니라 기저의 존재까지 보장한다. 앞 슬라이드는 서로 다른 고유공간의 직교성을 증명한 것이며 정리 전체의 증명은 아니다. 여기서는 이 존재 정리를 사용해 레일리 몫의 범위를 증명한다.
근거와 유도
고윳값의 가중평균과 등호 조건
\[v=\sum_i c_iq_i\quad\Rightarrow\quad R_A(v)=\frac{\sum_i\lambda_i c_i^2}{\sum_i c_i^2}\]
정규직교성 때문에 분자와 분모의 교차항이 사라진다. 가중치 \(c_i^2/\sum c_i^2\)가 음이 아니고 합이 1이므로 최소 고윳값보다 작거나 최대 고윳값보다 클 수 없다.
\[\lambda_{\min}\le R_A(v)\le\lambda_{\max}\]
위쪽 등호는 최대 고윳값 이외의 성분이 모두 0일 때, 즉 \(v\)가 최대 고유공간에 있을 때 성립한다. 최대 고윳값이 반복되면 극값 방향은 하나로 정해지지 않을 수 있다.
적용과 논증
최댓값에 도달한 벡터의 조건
실수 대칭행렬 \(A\)의 정규직교 고유기저가 \(q_1,q_2,q_3\)이고 고윳값은 각각 \(5,5,1\)이다.
- \(v=q_1+2q_2+q_3\)의 레일리 몫을 계산하라.
- 레일리 몫이 5가 되는 모든 0이 아닌 벡터를 설명하라.
- “최대 고유벡터는 하나뿐이다”라는 주장을 반박하라.
풀이와 판단 근거
\[R_A(v)=\frac{5+20+1}{1+4+1}=\frac{13}{3}\]
5가 되려면 \(q_3\) 성분이 0이어야 하고, 반대로 그러면 5가 된다. 따라서 \(\operatorname{span}\{q_1,q_2\}\setminus\{0\}\)가 전체 답이다. 서로 다른 두 독립인 최대 고유벡터를 고를 수 있으므로 방향의 유일성도 없다.
적용과 논증
대칭성 가정을 빼면 생기는 반례
\[B=\begin{bmatrix}1&4\\0&1\end{bmatrix},\qquad v=\binom11\]
\(B\)의 고윳값과 \(R_B(v)\)를 계산하라. “레일리 몫은 언제나 최소·최대 고윳값 사이에 있다”에서 누락된 가정을 찾아라.
풀이와 판단 근거
\[\chi_B(t)=(t-1)^2,\quad Bv=\binom51,\quad R_B(v)=\frac{6}{2}=3\]
최소·최대 고윳값은 모두 1인데 레일리 몫은 3이다. 이 행렬은 대칭이 아니므로 스펙트럼 정리의 정규직교 고유기저를 사용할 수 없다. 정리의 결론을 비대칭행렬에 확대하면 안 된다.
정리
이차형식의 값과 길이 확대율의 구별
이번 차시의 목적값은 \(v^TAv\) 또는 레일리 몫이다. 이는 변환된 벡터의 길이 \(\|Av\|\)와 다른 양이다.
\[Av=-2v,\quad\|v\|=1\quad\Rightarrow\quad v^TAv=-2,\quad\|Av\|=2\]
실수 대칭행렬의 단위벡터 위 이차형식의 극값은 고윳값이다. 다음 차시에는 같은 직교 고유기저로 이차형식의 교차항을 없애고 등위선의 모양을 계산한다.