22차시 · 대칭행렬
단위벡터 중 이차형식을 가장 크게 만드는 방향은?
\[A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix},\qquad q(v)=v^\mathsf TAv\]
벡터의 길이는 1로 고정하고 방향만 바꾼다.
직접 조작
\(v=(\cos\theta,\sin\theta)\)의 방향을 바꾼다
방향에 따른 \(q(\theta)\)
\(q(v)=2.64\)\(v\)와 \(Av\)의 차이 18.9°고유방향 아님
삼각함수와 미분
극값을 주는 각도를 계산한다
\[\begin{aligned}q(\theta)&=\begin{bmatrix}\cos\theta&\sin\theta\end{bmatrix}A\begin{bmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{bmatrix}\\&=2+\sin2\theta\end{aligned}\]
\[q'(\theta)=2\cos2\theta=0\]
최댓값 3
\(A(1,1)^\mathsf T=3(1,1)^\mathsf T\)
최솟값 1
\(A(1,-1)^\mathsf T=(1,-1)^\mathsf T\)
정의
벡터의 길이와 무관한 방향별 이차 증가율
\[R_A(v)=\frac{v^\mathsf TAv}{v^\mathsf Tv},\qquad v\ne0\]
단위벡터에서는 \(R_A(v)=v^\mathsf TAv\).
스펙트럼 정리
실수 대칭행렬은 정규직교 고유기저를 갖는다
\[A=QDQ^\mathsf T\]
- \(Q^\mathsf TQ=I\)
- \(D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\)
- \(Q\)의 열은 단위 고유벡터
\[v=\sum_i c_iq_i\quad\Longrightarrow\quad R_A(v)=\frac{\sum_i\lambda_i c_i^2}{\sum_i c_i^2}\]
\(\lambda_{\min}\le R_A(v)\le\lambda_{\max}\). 등호는 대응하는 고유방향에서 성립.
대칭성이 쓰이는 지점
서로 다른 고윳값의 고유벡터는 직교한다
\[\begin{aligned}\lambda\langle u,v\rangle&=\langle Au,v\rangle\\&=\langle u,Av\rangle=\mu\langle u,v\rangle\end{aligned}\]
\((\lambda-\mu)\langle u,v\rangle=0\)
→
\(\lambda\ne\mu\Rightarrow u\perp v\)
같은 고윳값의 고유공간에서는 그람–슈미트 과정으로 정규직교기저 선택.
개념 확인
\(A=QDQ^\mathsf T\)에서 \(Q\)에 필요한 조건은?
핵심 정리
대칭행렬의 극값 방향은 고유벡터이고, 극값은 고윳값이다
헤세 행렬
최솟값·최댓값과 곡률 판정.
PCA
분산이 가장 큰 방향 선택.
정규모드
독립적으로 진동하는 방향 분리.
Laplacian
확산 속도와 주파수 모드 분석.