1. 특성다항식
\[\begin{aligned}\det(A-\lambda I)&=(5-\lambda)(2-\lambda)-4\\&=\lambda^2-7\lambda+6\end{aligned}\]
정의와 조건
이차형식, 교차항, 등위선
실수 대칭행렬 \(A\)에 대한 \(q(z)=z^TAz\)를 이차형식이라 한다. 두 변수에서는 \(q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2\)이고, 서로 다른 두 변수의 곱 \(2bxy\)를 교차항이라 한다.
\[A=\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix},\qquad\{(x,y):q(x,y)=k\}\]
함숫값이 같은 점들을 모은 마지막 집합을 등위선이라 한다. \(k\)의 값과 계수의 부호에 따라 타원, 쌍곡선, 직선 또는 빈 집합이 될 수 있다.
정의와 조건
주축과 직교좌표변환
대칭행렬 \(A\)의 정규직교 고유벡터를 \(Q\)의 열로 놓자. 이 기저 방향을 이차형식의 주축이라 한다. 좌표를 \(z=Qu\)로 바꾸면 교차항이 사라진다.
\[z^TAz=u^TQ^TAQu=u^TDu=\sum_i\lambda_i u_i^2\]
\(Q\)가 직교행렬이므로 길이와 각도는 유지된다. 도형 자체를 옮기는 것과 같은 도형의 좌표를 새 축에서 읽는 것은 구별한다. 이 수업의 조작 화면은 후자이다.
23차시 · 이차형식
예제: 기울어진 타원의 주축
\[5x^2+4xy+2y^2=1\]
앞에서 정의한 이차형식의 등위선 q=1이다. 행렬 표현을 만들고 주축에 맞는 좌표로 다시 쓴다.
적용과 논증
같은 이차형식의 행렬 표현은 유일한가?
\[q(x,y)=5x^2+4xy+2y^2,\quad M=\begin{bmatrix}5&0\\4&2\end{bmatrix}\]
- \((x,y)M(x,y)^T\)를 전개하여 \(q\)와 같은지 확인하라.
- 같은 식을 나타내는 대칭행렬 \(A\)를 구하라.
- 임의의 행렬 \(M\)에 대해 \(z^TMz=z^T\tfrac{M+M^T}{2}z\)인 이유를 설명하라.
풀이와 판단 근거
\[(x,y)M\binom xy=5x^2+4xy+2y^2,\quad A=\frac{M+M^T}{2}=\begin{bmatrix}5&2\\2&2\end{bmatrix}\]
\(z^TMz\)는 스칼라이므로 전치해도 같아 \(z^TM^Tz=z^TMz\)이다. 두 식의 평균을 취하면 결론을 얻는다. 행렬 표현 전체는 유일하지 않지만 대칭행렬로 제한하면 각 계수가 정해진다.
특성다항식
주축 방향의 이차 계수는 얼마일까?
2. 인수분해
\[\lambda^2-7\lambda+6=(\lambda-6)(\lambda-1)\]
고윳값은 \(\lambda_1=6\), \(\lambda_2=1\)이다.
두 고윳값은 새 좌표에서 \(u^2\), \(v^2\)의 계수가 됩니다.
서로 직교하는 단위 고유벡터
고유벡터를 단위벡터로 만들어 봅시다
\(\lambda=6\)\(\mathbf{v}_1=(2,1)\)
\(\lambda=1\)\(\mathbf{v}_2=(-1,2)\)
두 벡터는 서로 직교하고 길이는 모두 \(\sqrt5\)입니다.
\[Q=\frac1{\sqrt5}\begin{bmatrix}2&-1\\1&2\end{bmatrix},\qquad Q^\mathsf TQ=I\]
\[Q^\mathsf TAQ=\begin{bmatrix}6&0\\0&1\end{bmatrix}=D\]
\[\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=Q\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}=\frac1{\sqrt5}\begin{bmatrix}2u-v\\u+2v\end{bmatrix}\]
계산 예제
새 좌표의 식에서 반축 길이까지
\[z=Q\binom uv,\qquad 5x^2+4xy+2y^2=6u^2+v^2\]
\[6u^2+v^2=1\iff\frac{u^2}{(1/\sqrt6)^2}+\frac{v^2}{1^2}=1\]
\(u\)축 방향의 반축 길이는 \(1/\sqrt6\), \(v\)축 방향은 1이다. 큰 고윳값의 방향이 더 짧은 반축을 만든다. 고윳값은 길이가 아니라 제곱항의 계수이기 때문이다.
좌표축 회전
도형은 고정한 채 좌표축만 바꿔 봅시다
\(\mathbf{x}=Q(\theta)\mathbf{u}\)
고정된 도형과 회전하는 \(u,v\)축
새 좌표에서 다시 본 같은 타원
5.00u² 계수
4.00uv 계수
2.00v² 계수
−5
5
\[q=5u^2+4uv+2v^2\]
교차항 계수는 \(B(0)=4\)입니다.
적용과 논증
등위값과 부호가 바뀌었을 때의 해석
주축 좌표에서 세 등위선을 비교한다.
- \(6u^2+v^2=4\)의 반축 길이를 구하라.
- \(6u^2-v^2=1\)이 타원이 아닌 이유를 좌표 범위로 설명하라.
- \(6u^2+v^2=-1\)의 실수 점이 존재하는가? “양의 고윳값이면 항상 타원”이라는 문장을 고쳐라.
풀이와 판단 근거
첫 식은 \(u^2/(2/\sqrt6)^2+v^2/2^2=1\)이므로 반축은 \(2/\sqrt6,2\)이다. 둘째 식은 \(u^2=(1+v^2)/6\)이므로 임의로 큰 \(|v|\)에서도 점이 존재하는 쌍곡선이다. 셋째 식의 왼쪽은 음수가 될 수 없어 실수 점이 없다.
대칭행렬이 양의 정부호일 때 \(q=k\)는 \(k>0\)이면 타원, \(k=0\)이면 원점 하나, \(k<0\)이면 빈 집합이다.
정의와 조건
편미분, 기울기, 헤세 행렬 · 선택
다른 변수를 상수로 두고 한 변수에 대해 미분한 값을 편미분이라 한다. \(F_x,F_y\)는 일차 편미분이고, 이를 열벡터로 모은 것이 기울기이다.
\[\nabla F=\binom{F_x}{F_y},\qquad H_F=\begin{bmatrix}F_{xx}&F_{xy}\\F_{yx}&F_{yy}\end{bmatrix}\]
일차 편미분을 다시 미분해 모은 \(H_F\)를 헤세 행렬이라 한다. \(\nabla F=0\)인 점을 임계점이라 부른다. 이 절은 일변수 미분을 배운 학생의 선택 내용이다.
계산 예제
편미분으로 만든 행렬과 앞의 이차형식
\[F(x,y)=\tfrac52x^2+2xy+y^2-7x-4y\]
\[\nabla F=\binom{5x+2y-7}{2x+2y-4},\quad H_F=\begin{bmatrix}5&2\\2&2\end{bmatrix}=A\]
예를 들어 \(F_x\)를 다시 \(x,y\)로 미분하면 첫 행 \((5,2)\)가 된다. 임계점 조건은 \(Az=(7,4)^T\)이고 해는 \(z_*=(1,1)^T\)이다. 같은 행렬 \(A\)의 고윳값 6과 1이 모두 양수이다.
근거와 유도
국소 최소와 전체 최소의 구별 · 선택
2차 편미분이 임계점 근처에서 연속이고 그 점의 헤세 행렬이 양의 정부호이면, 가까운 다른 점보다 함수값이 작다. 이를 엄격한 국소 최소점이라 한다. 전체 정의역에서 가장 작다는 뜻은 아니다.
\[F(z)=\tfrac12z^TAz-b^Tz,\quad Az_*=b\quad\Rightarrow\quad F(z_*+h)-F(z_*)=\tfrac12h^TAh\]
지금 예제는 이차함수이고 \(A\succ0\)가 일정하므로 차이식이 모든 \(h\)에서 성립한다. 따라서 \((1,1)\)은 유일한 전체 최소점이고 값은 \(-11/2\)이다.
적용과 논증
헤세 행렬이 0이면 최소가 아닌가? · 선택
\(f(x,y)=x^4+y^4\), \(g(x,y)=x^4-y^4\)를 원점에서 비교한다.
- 두 함수의 기울기와 헤세 행렬을 원점에서 계산하라.
- 원점이 최소점인지 각각 함수값으로 판정하라.
- “헤세 행렬이 양의 정부호가 아니면 최소점이 아니다”라는 주장에 무엇이 잘못되었는가?
풀이와 판단 근거
\[\nabla f(0,0)=\nabla g(0,0)=0,\quad H_f(0,0)=H_g(0,0)=0\]
\(f\)는 원점 밖에서 항상 양수이므로 원점이 엄격한 전체 최소점이다. \(g(t,0)=t^4>0\), \(g(0,t)=-t^4<0\)이므로 \(g\)는 원점에서 최소도 최대도 아니다. 양의 정부호는 충분조건이며, 판정법이 결론을 주지 않는 경우에는 고차항이나 직접 함수값을 확인해야 한다.
정리
주축 계산과 최소점 판정의 연결
- 이차형식은 대칭행렬로 표현하고 비대각 성분에 교차항 계수의 절반을 넣는다.
- 직교 고유기저로 좌표를 바꾸면 고윳값이 제곱항의 계수가 된다.
- 등위선의 모양에는 고윳값 부호뿐 아니라 등위값도 필요하다.
- 헤세 행렬 판정은 가정이 있는 충분조건이다. 국소 판정과 전체 최소의 증명을 구별한다.