1. 특성다항식
\[\begin{aligned}\det(A-\lambda I)&=(5-\lambda)(2-\lambda)-4\\&=\lambda^2-7\lambda+6\end{aligned}\]
23차시 · 이차형식
교차항은 좌표축과 주축이 다름을 나타낸다
\[5x^2+4xy+2y^2=1\]
타원의 축을 찾고, 그 축에서 식을 다시 표현한다.
행렬 표현
이차형식의 대칭행렬은 무엇인가?
\[q(x,y)=5x^2+4xy+2y^2=\begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix}A\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\]
일반식 \(ax^2+2bxy+cy^2\)의 대칭행렬은 \(\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}\).
특성다항식
주축 방향의 이차 계수를 계산한다
2. 인수분해
\[\lambda^2-7\lambda+6=(\lambda-6)(\lambda-1)\]
고윳값 \(\lambda_1=6\), \(\lambda_2=1\).
두 값은 새 좌표에서 \(u^2\), \(v^2\)의 계수가 된다.
정규직교 고유기저
고유벡터를 단위벡터로 만든다
\(\lambda=6\)\(v_1=(2,1)\)
\(\lambda=1\)\(v_2=(-1,2)\)
두 벡터는 직교하고, 노름은 모두 \(\sqrt5\).
\[Q=\frac1{\sqrt5}\begin{bmatrix}2&-1\\1&2\end{bmatrix},\qquad Q^\mathsf TQ=I\]
\[Q^\mathsf TAQ=\begin{bmatrix}6&0\\0&1\end{bmatrix}=D\]
\[\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=Q\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}=\frac1{\sqrt5}\begin{bmatrix}2u-v\\u+2v\end{bmatrix}\]
좌표축 회전
도형은 고정하고 좌표축만 바꾼다
\(x=Q(\theta)u\)
고정된 도형과 회전하는 \(u,v\)축
새 좌표에서 다시 본 같은 타원
5.00u² 계수
4.00uv 계수
2.00v² 계수
−5
5
\[q=5u^2+4uv+2v^2\]
교차항 계수 \(B(0)=4\).
다변수 최적화
양의 정부호 헤세 행렬은 유일한 최소점을 정한다
\[F(z)=\frac12z^\mathsf TAz-b^\mathsf Tz,\qquad b=\begin{bmatrix}7\\4\end{bmatrix}\]
이 함수의 헤세 행렬은 \(H=A\). 고윳값 6과 1이 모두 양수.
\[\nabla F(z)=Az-b=0\]
\[\begin{bmatrix}5&2\\2&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\\4\end{bmatrix}\quad\Longrightarrow\quad (x,y)=(1,1)\]
고유축에서는 곡률이 6과 1로 분리된다. 따라서 \((1,1)\)은 유일한 최소점.
개념 확인
\(q(x,y)=2x^2-y^2\)의 등위선 \(q=1\)은?
핵심 정리
직교 고유기저는 이차형식을 독립된 제곱항으로 분해한다
주축
고유벡터가 등위선의 축을 결정.
교차항 제거
\(Q^\mathsf TAQ=D\), \(q=6u^2+v^2\).
곡률과 최솟값
헤세 행렬의 고윳값으로 이차근사 판정.