26차시 · 행렬 거듭제곱
$A^{50}$을 계산할 때 $A$를 49번 곱해야 할까?
행렬이 만족하는 낮은 차수의 다항식 관계로 고차 거듭제곱을 줄일 수 있다.
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⁵⁰ → ?조건 선택
고차 거듭제곱을 낮은 차수로 줄이는 데 필요한 정보는?
어떤 대상 $x$가 $x^2=x+1$을 만족하면 $n\ge2$인 $x^n$을 $a_nx+b_n$으로 줄일 수 있다. 행렬 다항식의 상수 $c$는 $cI$로 해석한다.
직접 조작
$Q^n$의 각 성분은 어떤 수열을 이룰까?
예측
왼쪽 위, 오른쪽 위, 왼쪽 아래, 오른쪽 아래에 들어갈 피보나치 수의 첨자
$$Q^n=\begin{bmatrix}F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}\end{bmatrix}$$
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ⁿ =5332
다항식 관계
$Q^2=Q+I$를 이용한 고차 거듭제곱의 차수 감소
$$Q^2=Q+I$$
한 번 더 곱하기
$Q^3=2Q+I$
→
다시 줄이기
$Q^4=3Q+2I$
→
귀납으로 증명
$Q^n=F_nQ+F_{n-1}I$
최소다항식 $m_Q(t)=t^2-t-1$이 거듭제곱의 가장 짧은 점화식을 정한다. 모든 $Q^n$은 $\operatorname{span}\{I,Q\}$에 속한다.
수학적 정리
특성다항식에 행렬을 대입하면 영행렬이 된다
정사각행렬 $A$의 특성다항식을 $p_A(t)=\det(tI-A)$라 한다.
$$p_A(A)=0$$케일리–해밀턴 정리. 우변은 영행렬이다.
$$A^2-\operatorname{tr}(A)A+\det(A)I=0$$$2\times2$ 행렬에서 얻는 관계
새 문제에 적용
$Q^8$을 두 행렬만으로 나타내 보자
사용할 정보
$Q^2=Q+I$, $F_8=21$, $F_7=13$
$$Q^8=21Q+13I=\begin{bmatrix}34&21\\21&13\end{bmatrix}$$
개념 확인
$\operatorname{tr}(B)=3$, $\det(B)=2$인 $2\times2$ 행렬. 반드시 참인 식은?
핵심 정리
낮은 차수의 다항식 관계로 행렬의 고차 거듭제곱을 계산한다.
다음 차시에는 전이행렬의 반복에 따른 상태분포의 수렴을 분석한다.
상태공간최소다항식케일리–해밀턴피보나치