26차시 · 정의와 표기

행렬다항식과 특성다항식

정사각행렬 \(A\in\mathbb R^{d\times d}\)에 대해 \(A^0=I_d\)로 정한다. 스칼라 다항식에 행렬을 대입할 때 상수항은 단위행렬에 곱한다.

\(p_A(t)=\det(tI-A)\)를 특성다항식이라고 한다. \(t\)는 스칼라이며 행렬식 계산을 끝낸 다음 다항식 \(p_A\)에 \(A\)를 대입한다. \(p_A(A)\)는 숫자가 아니라 행렬이다.

26차시 · 설명과 유도

2×2에서 확인하는 케일리–해밀턴 정리

\(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\)이면 \(p_A(t)=t^2-(a+d)t+(ad-bc)\)이다. 실제로 행렬을 곱해 확인하면

이 계산이 \(p_A(A)=0\)의 2×2 증명이다. \(\det(tI-A)\)에 \(t=A\)를 넣어 \(\det(A-A)=0\)이라고 쓰는 논법은 행렬 크기와 연산 종류를 혼동한 것이다.

26차시 · 정의와 표기

피보나치 수열과 상태벡터

피보나치 수열은 \(F_0=0,\ F_1=1,\ F_{n+1}=F_n+F_{n-1}\ (n\ge1)\)로 정의한다. 다음 항에는 직전 두 항이 필요하다.

\(p_Q(t)=t^2-t-1\)이므로 \(Q^2=Q+I\)이다. 두 항 점화식의 반복을 행렬곱으로 나타낼 수 있고, 이 다항식 관계로 곱셈 횟수를 줄일 수 있다.

26차시 · 유도와 계산

작은 거듭제곱으로 환원하는 계산

\(Q=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}\)에서 직접 곱하면 \(Q^2=Q+I\)입니다.

한 번 얻은 관계식에 Q를 곱하고 Q²를 다시 Q+I로 바꿉니다. 대각화를 하지 않아도 이 관계를 반복해서 거듭제곱의 차수를 낮출 수 있습니다.

26차시 · 계산과 논증

피보나치 거듭제곱 공식의 귀납 증명

\(Q^2=Q+I\)와 피보나치 점화식만 사용하여 모든 \(n\ge1\)에서 \(Q^n=F_nQ+F_{n-1}I\)임을 증명하라. 이어서 \(Q^8\)을 구하라.

26차시 · 계산과 논증

대각화할 수 없어도 거듭제곱을 구할 수 있을까?

① \(p_J(t)\)를 구하고 \(N=J-I\)가 만족하는 식을 구하라. ② \(J^n\)을 구하라. ③ 모든 고윳값이 1이므로 \(J^n\)은 유계라는 주장을 판단하라.

26차시 · 계산과 논증

특성다항식으로 세제곱과 역행렬 구하기

\(2\times2\) 행렬 \(B\)의 대각합은 3, 행렬식은 2이다. 원소를 모르더라도 \(B^3\)과 \(B^{-1}\)을 \(B,I\)로 나타낼 수 있는가? 각 식의 근거를 써라.