\(\lambda_+=1\)
\(\mathbf{v}_+=(1,1)\), \(\omega_+=1\)
28차시 · 정의와 표기
변위·복원력·운동방정식
변위 \(x_i(t)\)는 질량 \(i\)의 평형 위치에서 잰 이동거리이다. 오른쪽을 양수로 정한다. 속도는 \(x_i'(t)\), 가속도는 \(x_i''(t)\)이다.
\[F=-k\delta,\qquad m x''=F\]
\(k>0\)는 용수철 상수, \(\delta\)는 용수철의 늘어난 길이이다. 첫 식은 훅의 법칙으로 복원력이 늘어난 방향과 반대임을 뜻한다. 둘째 식은 질량 \(m\)에 작용하는 힘과 가속도의 관계이다.
마찰과 외력을 무시하고, 작은 변위에서 훅의 법칙이 성립한다고 가정한다. 이 수업의 계산에서는 단위를 정규화하여 \(m=k=1\)로 둔다.
28차시 · 결합진동
두 질량은 어떤 방식으로 함께 진동할까?
같은 질량 2개와 같은 용수철 3개의 움직임을 \(2\times2\) 행렬로 나타내 봅시다.
28차시 · 계산과 논증
힘의 부호를 두 극단에서 검산하기
같은 용수철 3개를 벽–질량1–질량2–벽 순서로 연결한다. \(m=k=1\)이다. ① 두 힘의 합을 구하여 \(x''=-Kx\)를 구성하라. ② \(x_1=x_2=a\)와 \(x_1=a,x_2=-a\)를 각각 대입하여 가운데 용수철의 역할을 설명하라.
풀이와 판단 근거
\[x_1''=-x_1+(x_2-x_1),\quad x_2''=(x_1-x_2)-x_2,\quad K=\begin{bmatrix}2&-1\\-1&2\end{bmatrix}\]
같은 변위에서는 가운데 용수철의 길이가 변하지 않아 가속도가 \((-a,-a)\)이다. 반대 변위에서는 가운데 용수철의 상대변위가 \(-2a\)여서 가속도가 \((-3a,3a)\)이다. 부호나 대각계수가 틀렸다면 이 두 경우에서 물리적 설명과 맞지 않는다.
28차시 · 정의와 표기
정규모드와 각진동수
\(x''=-Kx\)에서 각 질량의 변위 비율을 일정하게 유지하며 진동하는 운동을 정규모드라고 한다. 그 모양을 영벡터가 아닌 \(v\), 시간에 따른 크기를 \(q(t)\)로 쓰면 \(x(t)=vq(t)\)이다.
\[Kv=\lambda v,\quad \lambda>0\quad\Longrightarrow\quad q''=-\lambda q,\quad\omega=\sqrt\lambda\]
\(\omega\)는 각진동수이며 \(\omega t\)는 위상이다. 주기는 \(T=2\pi/\omega\)이다. \(q(t)=a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)\)에서 두 계수는 초기변위와 초기속도가 정한다.
두 질량이 같은 방향으로 움직이는 모드를 동상, 반대 방향으로 움직이는 모드를 역상이라고 부른다. 모드 벡터의 크기는 정규화 방식에 따라 달라도 운동의 방향 비율은 같다.
28차시 · 유도와 계산
고윳값이 각진동수의 제곱인 이유
\(x(t)=v\cos(\omega t)\)를 가정하면 \(x''(t)=-\omega^2v\cos(\omega t)\)입니다.
\[x''=-Kx\quad\Longrightarrow\quad Kv=\omega^2v\]
초기속도가 0인 경우 코사인만 사용합니다. 일반적인 초기속도에는 사인항도 필요합니다.
고윳값 계산
용수철 힘 행렬 \(K\)의 두 고유벡터와 진동 모양
\[\begin{aligned}
\det(K-\lambda I)&=(2-\lambda)^2-1\\
&=\lambda^2-4\lambda+3\\
&=(\lambda-1)(\lambda-3)
\end{aligned}\]
\(\lambda_-=3\)
\(\mathbf{v}_-=(1,-1)\), \(\omega_-=\sqrt3\)
고윳값은 각진동수의 제곱이다. 고윳값 3에 대응하는 각진동수는 \(\sqrt3\)이다.
직접 조작
두 질량이 같은 쪽으로 움직일 때와 반대로 움직일 때는 무엇이 다를까?
\[\mathbf{v}_+=(1,1),\qquad \omega=1\]
두 질량이 같은 쪽으로 움직입니다.
28차시 · 설명과 유도
초기변위와 초기속도에서 모드 계수 구하기
\(v_+=(1,1)^T\), \(v_-=(1,-1)^T\)로 쓰면 일반해는
\[x(t)=(a\cos t+c\sin t)v_++(b\cos\sqrt3t+d\sin\sqrt3t)v_-\]
초기변위 \(x(0)\)를 분해하면 \(a,b\)를 얻는다. 초기속도 \(x'(0)\)를 분해한 계수는 \(c,\sqrt3d\)이다. 사인항을 미분하면 각진동수가 한 번 더 곱해지기 때문이다.
\[x(0)=av_++bv_-,\qquad x'(0)=cv_++\sqrt3d\,v_-\]
다음 조작 화면에서는 초기속도를 0으로 고정하므로 \(c=d=0\)이다.
시간 그래프
처음 위치를 바꾸면 두 모드의 비율은 어떻게 달라질까?
\[a=0.50,\qquad b=0.50\]
초기속도는 0입니다. 두 모드가 함께 있으면 두 각진동수의 비가 무리수라서 전체 운동은 정확히 같은 주기로 반복되지 않습니다.
\(x_1(t)\)\(x_2(t)\)
28차시 · 계산과 논증
같은 초기변위라도 같은 운동일까?
두 실험의 초기변위는 모두 \(x(0)=(1,0)^T\)이다. 실험 A는 \(x'(0)=0\), 실험 B는 \(x'(0)=(0,2)^T\)이다.
① 각 실험의 네 모드 계수를 구하라. ② 실험 B의 운동식을 쓰고 \(t=0\)에서 위치와 속도를 검산하라. ③ 초기변위만 알면 운동이 결정된다는 주장을 판단하라.
풀이와 판단 근거
두 실험 모두 \(a=b=1/2\)이다. A는 \(c=d=0\)이다. B에서는 \((0,2)^T=v_+-v_-\)이므로 \(c=1,d=-1/\sqrt3\)이다.
\[x_B(t)=(\tfrac12\cos t+\sin t)v_++(\tfrac12\cos\sqrt3t-\tfrac1{\sqrt3}\sin\sqrt3t)v_-\]
\(t=0\)을 넣으면 \((1,0)^T\), 미분한 뒤 0을 넣으면 \(v_+-v_-=(0,2)^T\)이다. 2차 미분방정식의 운동을 정하려면 초기변위뿐 아니라 초기속도도 필요하다.
모형의 확장
질량과 용수철이 더 많아지면?
결합 길이의 작은 변화
평형 상태 근처 위치에너지의 이차식 근사 · 원자 질량과 결합 세기로 계산하는 진동 모양
층별 변위와 고유진동수
\(M\ddot{\mathbf{x}}+K\mathbf{x}=\mathbf{0}\)에서 푸는 \(K\mathbf{v}=\omega^2M\mathbf{v}\) · 공진을 피하기 위한 고유진동수 확인
정규모드 좌표에서 서로 독립적으로 계산되는 진동방정식
핵심 정리
고유벡터 방향별 진동수로 운동 계산하기
- 운동방정식의 행렬화: \(\ddot{\mathbf{x}}=-K\mathbf{x}\)
- 정규모드 계산: \(K\mathbf{v}=\omega^2\mathbf{v}\)
- 일반 운동의 구성: 각 정규모드의 시간함수 합
동상·역상고유진동수모드 분해