\(\lambda_+=1\)
\(v_+=(1,1)\), \(\omega_+=1\)
28차시 · 결합진동
두 질량은 어떤 방식으로 함께 진동할까?
대칭인 2질량–3용수철 계를 \(2\times2\) 고윳값 문제로 나타낸다.
힘의 합 계산
첫째 질량의 가속도 \(x_1''\)는?
오른쪽 변위를 양수로 둔다. 왼쪽 용수철과 가운데 용수철의 힘을 함께 계산한다.
\[\begin{bmatrix}x_1''\\x_2''\end{bmatrix}=-\begin{bmatrix}2&-1\\-1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=-Kx\]
직접 조작
동상과 역상 모드를 시간에 따라 비교한다
\[v_+=(1,1),\qquad \omega=1\]
두 질량의 변위 부호가 같다.
고윳값 계산
정규모드는 강성행렬의 고유벡터
\[\begin{aligned}
\det(K-\lambda I)&=(2-\lambda)^2-1\\
&=\lambda^2-4\lambda+3\\
&=(\lambda-1)(\lambda-3)
\end{aligned}\]
\(\lambda_-=3\)
\(v_-=(1,-1)\), \(\omega_-=\sqrt3\)
\(x(t)=v\cos(\omega t)\)를 대입하면 \(Kv=\omega^2v\). 따라서 \(\lambda=\omega^2\)이다.
초기상태 분해
모든 초기변위는 두 정규모드의 합
\[\begin{aligned}
x(0)&=a\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}+b\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\\
a&=\frac{x_1(0)+x_2(0)}2,\qquad
b=\frac{x_1(0)-x_2(0)}2
\end{aligned}\]
\(x(0)=(1,-1)^\mathsf T\)일 때 모드 계수는?
시간 그래프
초기변위를 바꾸어 두 모드의 합을 확인한다
\[a=0.50,\qquad b=0.50\]
초기속도는 0. 두 모드의 진동수가 달라 일반적인 운동은 한 주기로 반복되지 않는다.
\(x_1(t)\)\(x_2(t)\)
모형의 확장
자유도가 늘어도 같은 고윳값 구조를 사용한다
결합 길이의 작은 변화
평형구조 주변의 위치에너지를 이차식으로 근사한다. 질량가중 강성행렬의 고유벡터가 진동 모양을 정한다.
층별 변위와 고유진동수
\(M\ddot x+Kx=0\)에서 \(Kv=\omega^2Mv\)를 푼다. 공진을 피하도록 고유진동수를 확인한다.
정규모드 좌표에서는 결합된 운동방정식이 서로 독립인 진동방정식으로 분리된다.
핵심 정리
고유벡터는 진동 모양, 고윳값은 진동수의 제곱을 정한다.
- 운동방정식의 행렬화: \(\ddot x=-Kx\)
- 정규모드 계산: \(Kv=\omega^2v\)
- 일반 운동의 구성: 각 정규모드의 시간함수 합
동상·역상고유진동수모드 분해